子群

假设 <math>(G, *)</math> 是一个 群（group），若 <math>H</math> 是 <math>G</math> 的一个非空子集（subset）且同时 <math>H</math> 与相同的二元运算 <math>*</math> 亦构成一个群，则 <math>(H, *)</math> 称为 <math>(G, *)</math> 的一个 子群（subgroup）。参阅群论。

更精确地来说，若运算 <math>*</math> 在 <math>H</math> 的限制也是个在 <math>H</math> 上的群运算，则称 <math>H</math> 为 <math>G</math>的子群。

一个群 <math>G</math> 的 纯子群 是指一个子群 <math>H</math>，其为 <math>G</math>的纯子集（即 <math>H</math> ≠ <math>G</math>）。任一个群总会有两个子群 当然群（为只包含单位元的子群，{e}）以及 群本身。若 <math>H</math> 为 <math>G</math>的子群，则 <math>G</math> 有时会被称为 <math>H</math> 的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内，当 G 为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群G 有时会被标记成有序对(G,*)，通常用以强调其运算 <math>*</math> 当 G 带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中，会使用省略掉 <math>*</math> 的约定，并将乘积a*b写成 ab。

子群的检验

给定一个群<math>(G,*)</math>，<math>H</math>为<math>G</math>的子集，则有<math>H</math>为<math>G</math>的子群当且仅当<math>\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H</math>。

若<math>H</math>为<math>G</math>的子群可表示为<math>H\leq G</math>，则以上表述可表示为:

<math>H\leq G\Longleftrightarrow\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H</math>

证明：

<math>(\Longrightarrow)</math>：

因为<math>H\leq G</math>，对于任意<math>h'\in H</math>，<math>\exists h'^{-1}\in H</math>，另有<math>h\in H</math>，由于<math>H</math>为一个群，所以<math>h*h'^{-1}\in H</math>。

<math>(\Longleftarrow)</math>：

假设<math>\exists x\in H</math>，令<math>h=h'=x</math>，可得<math>h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_G\in H</math>，即<math>H</math>存在单位元。

对于<math>x\in H</math>，令<math>h=e_G</math>，<math>h'=x</math>，可得<math>h*h^{-1}=e_G*x^{-1}=x^{-1}\in H</math>，即对于任意<math>x\in H</math>，存在<math>x^{-1}\in H</math>。

对于<math>x,y\in H</math>，令<math>h=x</math>，<math>h'=y^{-1}</math>，可得<math>h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H</math>，即对于任意<math>x,y\in H</math>，<math>x*y\in H</math>。

因此<math>H\leq G\Longleftrightarrow\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H</math>成立。

子群的基本性质

• <math>H \leq G</math> <math>\Longleftrightarrow</math><math>H \subseteq G</math>且存在一个映射<math>\phi : H \to G</math>,且对每个 <math>a \in H</math> 有<math>\phi(a)=a</math>。
• <math>H \leq G</math> <math>\Longleftrightarrow</math><math>e_{H} = e_{G}</math>,其中<math>e_{H},e_{G}</math>为<math>H,G</math> 的单位元。
• 若<math>H \leq G</math>，则<math>a,b</math>为会使得<math>ab=ba=e_{H}</math> 之 <math>H</math> 中的元素，有<math>ab = ba = e_{G}</math>。
• 若<math>H_{1} \leq G,H_{2} \leq G \Rightarrow H_{1} \cap H_{2} \leq G</math> .但<math>H_{1}\cup H_{2} </math>则不一定，例如2和3是在<math>2\Z</math>与<math>3\Z</math>的并集中，但其总和5则不是。
• 若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
• 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得aⁿ = e的正整数，且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z，则a会被称有“无限阶”。
• 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论并集“所产生”的子群。)若e为G的单位元，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

例子

1. 有限群

<math>G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}</math> 和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表为

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群：<math>J=\{0,4\}</math> 和 <math>H=\{0,2,4,6\}</math>，其中 <math>J</math> 亦是 <math>H</math> 的子群。<math>H</math> 的凯莱表是 <math>G</math> 的凯莱表之左上半部。 <math>G</math> 群是循环的，而其子群亦为。一般而言，循环群的子群亦为循环的。

2. 二面体群

如果<math>G = D_n</math>，则 <math>R =\{ e, r, r^2, ... , r^{n-1} \}</math>是一个子群

3.群的中心，中心化子，正规化子

我们设<math>Z(G)</math>一个群G的子集，包含了所有与群G中其他元素可交换的元素，也就是说

<math>Z(G)=\{x \in G |\; xg=gx \;\,\; \forall\, g\in G \}</math>，此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心，记作<math>Z(G)</math>。

设A为G的任意子集，则A在G中的中心化子为集合<math>C_{G}(A)</math>，此集合的定义为:

<math>C_{G}(A) =\{g\in G \; |\;gag^{-1}=a \;\; \forall a\in A \}</math>，此集合也是群G的子群。

至于A在G中的正规化子则为集合<math>N_{G}(A) </math>，此集合定义为:

<math>N_{G}(A) =\{g\in G \; |\;gAg^{-1}\subseteq A \}</math>，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a₁ ~ a₂当且仅当a₁⁻¹a₂会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，

<math> [ G : H ] = { o(G) \over o(H) } </math>

其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是，每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的因数。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见

• 嘉当子群
• 费汀子群
• 稳定子群