等势
在数学领域中，两个集合是等势的（英语：equinumerous）意为它们之间存在一个双射。这种性质经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也会用术语 equipotent 或 equipollent 来表示等势。
定义[编辑]
定义 — <math>A </math> 和 <math>B </math> 是二集合，若 <math>f </math> 满足
- <math>(\forall a \in A)(\exists ! b)\{
(b \in B) \wedge [(a,\,b) \in f]
\} </math> （<math>f </math> 是<math>A </math> 和 <math>B </math> 间的函数）
- <math>(\forall b \in B)(\exists a \in A)[(a,\,b) \in f] </math> （每个 <math>b \in B </math> 都可以用 <math>f </math> 的规则对到某 <math>a \in A </math>）
- <math>(\forall a_1 \in A)(\forall a_2 \in A)(\forall b \in B)\{[(a_1,\,b),\,(a_2,\,b) \in f] \Rightarrow (a_1 = a_2)\} </math> （<math>a_1,\,a_2 \in A </math> 都对到 <math>b \in B </math> 则两者相等 ）
此时用以下符号简记：
- <math>A\,\overset{f}{\cong}\,B </math>
更进一步的，可以定义：
- <math>A \cong B
- =
(\exists f) \left[
A\,\overset{f}{\cong}\,B
\right] </math>
并可简称为<math>A </math> 和 <math>B </math> 是等势的。
<math>A\,\overset{f}{\cong}\,B </math> 直观上来说，就是任意 <math>b \in B </math> 都可以透过函数 <math>f </math> 的规则，被唯一的一个 <math>a \in A </math> 对应。而所谓的等势，就是<math>A </math> 和 <math>B </math> 间存在这样的一对一且不遗漏的对应关系。
范例[编辑]
设<math>E=\left\{2n|n\in \mathbb{N}\right\}</math>是全体偶数的集合，那么，它与自然数集<math>\mathbb{N}</math>是等势的； 有理数<math>\mathbb{Q}</math>与自然数<math>\mathbb{N}</math>是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）； 然而，无理数<math>\mathbb{R}-\mathbb{Q}</math>与自然数<math>\mathbb{N}</math>或有理数<math>\mathbb{Q}</math>都不等势（无理数比有理数“个数多”）。
性质[编辑]
范畴论的等势[编辑]
在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。
参见[编辑]
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