满射
| 各种函数 |
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| x ↦ f (x) |
| 不同定义域和陪域 |
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| 函数类/性质 |
| 构造 |
| 推广 |
满射或盖射（英语：surjection、onto），或称满射函数或映成函数，一个函数<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，则对于任意的陪域 <math>Y</math> 中的元素 <math>y</math>，在函数的定义域 <math>X</math> 中存在一点 <math>x</math> 使得 <math>f(x)=y</math>。换句话说，<math>f</math>是满射时，它的值域<math>f(X)</math>与陪域<math>Y</math>相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 <math>y\in Y </math> 其原像 <math>f^{-1}(y)\subseteq X</math> 不等于空集合。
例子和反例[编辑]
函数<math>g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math>，定义为<math>g(x)=x^2</math>，不是一个满射，因为，（举例）不存在一个实数满足<math>x^2=-1</math>。
但是，如果把<math>g</math>的陪域限制到只有非负实数，则函数<math>g</math>为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数<math>y</math>，我们能对<math>y=x^2</math>求解，得到<math>x=\pm \sqrt{y}</math>。
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File:Bijection.svg |
File:Injection.svg |
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File:Surjection.svg |
File:Total function.svg |
性质[编辑]
若将定义在<math>X</math>上的函数<math>f</math>，视为其图像，即<math>\{(x, f(x)): x \in X\}</math>（集合论经常如此行），则满射与否，不仅是<math>f</math>的性质，而是映射（需要声明陪域）的性质。[1]单射与否可以单凭图像判断，但满射则不同，不能单凭图像判断，因为要知道陪域。
右可逆函数[编辑]
函数<math>g: Y \to X</math>称为函数<math>f: X \to Y</math>的右逆，意思是<math>f (g(y)) = y </math>对<math>Y</math>的所有元素<math>y</math>成立。简而言之，<math>g</math>的效果，可以<math>f</math>复原。用文字表示，<math>g</math>是<math>f</math>的右逆，意思是先做<math>g</math>后做<math>f</math>的复合<math>f \circ g</math>，等于<math>Y</math>上的恒等函数，即不造成任何变化。此处不要求<math>g</math>是<math>f</math>的真正反函数，因为另一次序的复合<math>g \circ f</math>，不必是<math>X</math>的恒等函数。换言之，<math>f</math>可以“复原”或“抵消”<math>g</math>，但不必被<math>g</math>复原或抵消。
若函数有右逆，则必为满射。但反之，“每个满射皆有右逆”此一命题，等价于选择公理，故在某些集合论中（例如假设决定公理为真的集合论系统），不必为真。
若<math>f: X \to Y</math>为满射，<math>B</math>为<math>Y</math>的子集，则<math>f(f^\mathrm{pre}(B)) = B</math>，即从预象<math>f^\mathrm{pre}(B)</math>，可以找回<math>B</math>。
右可消去[编辑]
函数<math>f: X \to Y</math>是满射，当且仅当其为右可消去：[2]给定任何两个有公共定义域和陪域的函数<math>g, h: Y \to Z</math>，若<math>g \circ f = h \circ f</math>，则有<math>g = h</math>。此性质的叙述用到函数和复合，可以对应推广成范畴的态射和复合。右可消的态射称为满态射或满同态。满射与满态射的关系在于，满射就是集合范畴中的满态射。
范畴论中，有右逆的态射必为满态射，但反之则不然。态射<math>f</math>的右逆<math>g</math>也称为<math>f</math>的截面。而有右逆的态射称为分裂满态射，是一类特殊的满态射。
作为二元关系[编辑]
以<math>X</math>为定义域，<math>Y</math>为值域的函数，可以视为两集合之间的左全右唯一的二元关系，因为可将函数与图像等同。此观点下，由<math>X</math>到<math>Y</math>的满射，是右唯一而既左全又右全的关系。
定义域不小于陪域[编辑]
满射的定义域，必有大于或等于其陪域的基数：若<math>f:X \to Y</math>为满射，则<math>X</math>的元素个数必定至少等于<math>Y</math>的元素个数（在基数意义下）。但此结论的证明，需要假定选择公理，以证明<math>f</math>有右逆，即存在函数<math>g: Y \to X</math>使得<math>f(g(y)) = y</math>对<math>Y</math>的任意元素<math>y</math>成立。满足此性质的<math>g</math>必为单射，故由基数大小比较的定义，有<math>|Y| \le |X|</math>。
特别地，若<math>X</math>和<math>Y</math>皆是有限，且两者的元素个数相同，则<math>f: X \to Y</math>是满射当且仅当<math>f</math>为单射。
给定两个集合<math>X</math>和<math>Y</math>，以<math>X \le ^* Y </math>表示“或者<math>X</math>为空，或者存在由<math>Y</math>至<math>X</math>的满射”。利用选择公理，可以证明，<math>X \le ^* Y</math>和<math>Y \le ^* X</math>两者一起，足以推出<math>|Y|=|X|</math>。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。
复合与分解[编辑]
两个满射的复合仍是满射：若<math>f</math>和<math>g</math>皆为满射，且<math>g</math>的陪域是<math>f</math>的定义域，则<math>f \circ g</math>也是满射。反之，若<math>f \circ g</math>为满，则<math>f</math>是满射，但<math>g</math>不必为满射。与右可消去一节一样，从集合范畴的满射，可以推广到一般范畴的满态射。
任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合：对任意<math>h : X \to Z</math>，都存在满射<math>f: X \to Y</math>和单射<math>g: Y \to Z</math>使得<math>h = g\circ f</math>，取法如下：定义<math>Y</math>为所有原像<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>的集合，其中<math>z</math>历遍<math>h</math>的值域。该些原像两两互斥，且划分<math>X</math>。于是，<math>f</math>将每个<math>x</math>映到包含<math>x</math>的原像（此为<math>Y</math>的元素），然后<math>g</math>再将<math>Y</math>的每个元素（形如<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>）映到相应的<math>z</math>。则<math>f</math>为满射（因为<math>Y</math>中的元素，是原像<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>，且非空，故有某个<math>x \in h^\mathrm{pre}(z)</math>，所以由<math>f</math>的定义有<math>f(x) = h^\mathrm{pre}(z)</math>），而根据<math>g</math>的定义，其为单射。
导出满射和导出双射[编辑]
任何函数，若将其陪域限制成值域，则可以视为满射，称为其导出满射。任何满射，若将定义域换成商集，即将函数值相同的参数，折叠成同一个“等价类”，则得到一个双射，其由等价类组成的集合，射去原函数的陪域。以符号表示，每个满射<math>f: A \to B</math>可以分解成先做一个商映射，再做一个双射。考虑以下等价关系：<math>x \sim y</math>当且仅当<math>f(x) = f(y)</math>。以<math>A/ {\sim}</math>表示此等价关系下，<math>A</math>的等价类的集合。换言之，<math>A/{\sim}</math>是<math>f</math>所有原像的集合。以<math>P : A \to A/{\sim}</math>表示将<math>x</math>映到等价类<math>[x]_\sim</math>的商映射，又设<math>f_P: A/{\sim} \to B</math>，定义为<math>f_P([x]_\sim) = f(x)</math>，则<math>f = f_P \circ P</math>。由定义知，<math>P</math>是满射，而<math>f_P</math>是双射。
相关条目[编辑]
参考文献[编辑]
- Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.
- ^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
- ^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓扑斯，逻辑的范畴论分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21） （English）.