正数

正数（英语：positive number, positive real number），在数学上是指大于0的实数，如1、3.7,1.5等，与负数相对。和实数一样，正数也是一个不可数的无限集合。这个集合在数学上通常用粗体R⁺或ℝ⁺来表示。正数与0统称非负数。

正数的历史

在《九章算术》（约于公元前100年）首次出现了负数概念：方程章为了配合方程术的算法，给出正负数的加、减法则。此时， “正数”作为一个明确的数学概念诞生了，但其身份是与“负数”作为一对矛盾体共同确立的。

笛卡尔的坐标系（1637年）笛卡尔创立的解析几何，将数与点一一对应起来：他规定了一条有原点、有方向的直线（数轴），原点右侧的点对应正数，原点左侧的点对应负数。从此，正数不再是抽象的符号，而是数轴上实实在在的一段长度（从原点向右）。这极大地促进了整个数学界对正数（和负数）的完全接受。

皮亚诺公理（19世纪）：意大利数学家皮亚诺提出了关于自然数的五条公理，从逻辑上严格地定义了什么是“1”，什么是“后继”，从而构建了整个算术体系的基础。自然数就是最基本的正数。此时， 正数通过公理化和集合论，建立了严格的逻辑基础。

符号函数

在实数上可以定义这样一个函数<math>\sgn (x)</math>，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

<math>\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right. </math>

当<math>x</math>不为 0 时，则有：

<math>\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1. </math>

这里，<math>\left \vert x \right \vert</math>为<math>x</math>的绝对值，<math>H(x)</math>为单位阶跃函数。请参见导数。

参见

• 实数
• 超实数
• 正整数