微分

File:Confusion grey.svg提示：此条目的主题不是微分学。

函数的微分（英语：differential）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由<math>y</math>是<math>x</math>的函数(<math>y=f(x)</math>)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量<math>x</math>的变化量趋近于0时(<math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}</math>)，因变量<math>y</math>的变化量也趋近于0，但<math>x</math>和<math>y</math>的变化量都趋近于0。当<math>x</math>有极小的变化量时，这称为<math>x</math>的微分。

当某些函数<math>\textstyle f</math>的自变量<math>\textstyle x</math>有一个微小的改变<math>\textstyle h</math>时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量<math>\textstyle h</math>，可以表示成<math>\textstyle h</math>和一个与<math>\textstyle h</math>无关，只与函数<math>\textstyle f</math>及<math>\textstyle x</math>有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在<math>\textstyle h</math>上的值。

另一部分是比<math>\textstyle h</math>更高阶的无穷小，也就是说除以<math>\textstyle h</math>后仍然会趋于零。当改变量<math>\textstyle h</math>很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在<math>\textstyle x</math>处的微分，记作<math>\displaystyle f'(x)h</math>或<math>\displaystyle \textrm{d}f_x(h)</math>。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量<math>\textstyle h</math>映射到变化量的线性部分的线性映射<math>\displaystyle \textrm{d}f_x</math>。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定义

File:Dydx zh.svg

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量<math>\textrm{d}y</math>，而<math>\textrm{d}y</math>加上灰线部分后是实际的改变量<math>\Delta y</math>

设函数<math>y = f(x)</math>在某区间<math>\mathcal{I}</math>内有定义。对于<math>\mathcal{I}</math>内一点<math>x_{0}</math>，当<math>x_{0}</math>变动到附近的<math>x_{0}+\Delta x</math>（也在此区间内）时，如果函数的增量<math>\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})</math>可表示为 <math>\Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)</math>（其中<math>A</math>是不依赖于<math>\Delta x</math>的常数），而<math>o( \Delta x)</math>是比<math>\Delta x</math>高阶的无穷小，那么称函数<math>f(x)</math>在点<math>x_{0}</math>是可微的，且<math>A \Delta x</math>称作函数在点<math>x_{0}</math>相应于自变量增量<math>\Delta x</math>的微分，记作<math>\textrm{d}y</math>，即<math>\textrm{d}y = A \Delta x</math>，<math>\textrm{d}y</math>是<math>\Delta y</math>的线性主部。

通常把自变量<math>x</math>的增量<math>\Delta x</math>称为自变量的微分，记作<math>\textrm{d}x</math>，即<math>\textrm{d}x = \Delta x</math>。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分<math>\textrm{d}x</math>，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数<math>y = f(x)</math>的微分又可记作<math>\textrm{d}y = f'(x)\textrm{d}x</math>。

几何意义

设<math>\Delta x</math>是曲线<math>y = f(x)</math>上的点<math>P</math>在横坐标上的增量，<math>\Delta y</math>是曲线在点<math>P</math>对应<math>\Delta x</math>在纵坐标上的增量，<math>\textrm{d}y</math>是曲线在点<math>P</math>的切线对应<math>\Delta x</math>在纵坐标上的增量。当<math>\left| \Delta x \right|</math>很小时，<math>\left| \Delta y - \textrm{d}y \right|</math>比<math>\left| \Delta x \right|</math>要小得多(高阶无穷小)，因此在点<math>P</math>附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数<math>f : x \mapsto x^2</math>，考虑它从某一点<math>x</math>变到<math>x + \textrm{d}x</math>。这时，函数的改变量<math>f(x +\textrm{d} x) - f(x)</math>等于：

<math>f(x+\textrm{d} x) - f(x)= (x + \textrm{d} x)^2 - x^2 </math>

<math>= 2x \cdot \textrm{d}x + (\textrm{d}x)^2 = A\textrm{d}x + o(\textrm{d}x)</math>

其中的线性主部：<math>Adx = 2xdx</math>，高阶无穷小是<math>o(\textrm{d}x)= (\textrm{d}x)^2</math>。 因此函数<math>\textstyle f</math>在点<math>\textstyle x</math>处的微分是<math>\textrm{d}y = 2x\textrm{d}x</math>。函数的微分与自变量的微分之商<math>\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2x = f^{\prime}(x)</math>，等于函数的导数。

<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ax^n)}{\mathrm{d}x}</math>，尤其<math>y=ax^n</math>

<math>=nax^{(n-1)}</math>

以下有一例子： 当方程式为<math>y=2x^2</math>时，就会有以下的微分过程。

<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>

<math>=\frac{\mathrm{d}2x^2}{\mathrm{d}x}</math>

<math>=2 \cdot 2x^{(2-1)}</math>

<math>=4x</math>

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数<math>u</math>、<math>v</math>可微，那么：

• <math>\mathrm{d}(au + bv) =\mathrm{d}au+\mathrm{d}bv= a\mathrm{d}u + b\mathrm{d}v</math>
• <math>d(uv) = udv + vdu</math>
• <math>d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}</math>
• 若函数<math>y(u)</math>可导，那么<math>d[y(u)] = y'(u)du</math>

极值

主条目：极值

多元函数微分

主条目：全微分

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只对单一自变量微分），但仍然有微分的概念。

定义

设<math>f</math>是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集<math>\Omega</math>射到R^m的一个函数。对于<math>\Omega</math>中的一点<math>x</math>及其在<math>\Omega</math>中的邻域<math>\Lambda</math>中的点<math>x+h</math>。如果存在线性映射<math>A</math>使得对任意这样的<math>x+h</math>,

<math>\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0</math>

那么称函数<math>f</math>在点<math>x</math>处可微。线性映射<math>A</math>叫做<math>f</math>在点<math>x</math>处的微分，记作<math>\textrm{d}f_x</math>。

如果<math>f</math>在点<math>x</math>处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点<math>x</math>都有微分<math>\textrm{d}f_x</math>时，可以考虑将<math>x</math>映射到<math>\textrm{d}f_x</math>的函数：

<math>\textrm{d}f : x \mapsto \textrm{d}f_x</math>

这个函数一般称为微分函数。

性质

• 如果<math>f</math>是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设<math>f</math>是从Rⁿ射到R^m的函数，<math>f = (f_1, f_2, \cdots , f_m)</math>，那么：

<math>\textrm{d}f_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}</math>。

具体来说，对于一个改变量：<math>h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i</math>，微分值：

<math>\textrm{d}f_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix}

h_1 \\ \vdots \\h_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i</math>

• 可微的必要条件：如果函数<math>f</math>在一点<math>x_0</math>处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)</math>都存在，但反之不真。
• 可微的充分条件：如果函数<math>f</math>在一点<math>x_0</math>的雅克比矩阵的每一个元素<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)</math>都在<math>x_0</math>连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

例子

函数<math> f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)</math>是一个从<math>\mathbb{R}^2</math>射到<math>\mathbb{R}^3</math>的函数。它在某一点<math>(x, y)</math>的雅可比矩阵为：

<math>J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\

1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} </math> 微分为：<math>\textrm{d}f_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h)</math>，也就是：

<math>\textrm{d}f_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\

1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\ (1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\ (1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}</math>

微分与微分形式

主条目：微分形式

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点<math>x</math>给出一个近似描述函数性质的线性映射<math>\textrm{d}f_x</math>，而微分形式对区域<math>\mathbf{D}</math>内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：<math>\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}</math>。在坐标记法下，可以写成：

<math>\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) \textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}</math>

其中的<math>\textrm{d}x^{i}</math>是<math>i</math>-射影算子，也就是说将一个向量<math>v</math>射到它的第<math>i</math>个分量<math>v^{i}</math>的映射。而<math>\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}</math>是满足：

<math>\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}</math>

的k-形式。

特别地，当<math>f</math>是一个从Rⁿ射到R 的函数时，可以将<math>\textrm{d}f_x</math>写作：

<math>\textrm{d}f_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \textrm{d}x^{i}</math>

正是上面公式的一个特例。

参见

• 微分学
• 微积分
• 导数
• 积分
• 偏导数
• 外微分
• 泰勒公式

参考来源

• 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.