拐点

File:Confusion grey.svg提示：此条目的主题不是驻点、滞点或临界点。

File:X cubed (narrow).svg

y=x³的函数图形，原点是其拐点

File:Point inflexion arctan.png

反正切函数的拐点

拐点（英语：Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹，或由凹转凸的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。

决定曲线的拐点有助于理解曲线的外形，这在描绘曲线图形时特别有用。

定义

若曲线图形在一点由凸转凹，或由凹转凸，则称此点为拐点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

拐点的必要条件

拐点的必要条件：设<math>f(x)</math>在<math>(a,b)</math>内二阶可导，<math>x_0\in (a,b)</math>，若<math>(x_0 ,f(x_0 ))</math>是曲线<math>y=f(x)</math>的一个拐点，则<math>f(x_0 )=0</math>。 比如，<math>f(x)=x^4</math>，有<math>f(0)=0</math>，但是0两侧全是凸，所以0不是函数<math>f(x)=x^4</math>的拐点。

拐点的充分条件：设<math>f(x)</math>在<math>(a,b)</math>内二阶可导，<math>f(x_0)=0</math>，若在<math>x_0</math>两侧附近<math>f(x)</math>异号，则点<math>(x_0,f(x_0))</math>为曲线的拐点。否则（即<math>f(x_0)</math>保持同号），<math>(x_0,f(x_0))</math>不是拐点。

分类

拐点可以根据<math>f'(x)</math>为零或不为零，进行分类：

• 如果<math>f'(x)</math>为零，此点为拐点的驻点，简称为鞍点。
• 如果<math>f'(x)</math>不为零，此点为拐点的非驻点。

例如：<math>y = x^3</math>的点<math>(0, 0)</math>是一个鞍点，切线为<math>x</math>轴，切线正好将图像分为两半。

参数曲线的拐点

平面参数曲线的拐点是使其曲率变号的点，此时曲率中心（居于曲线凹侧）从曲线的一侧换至另一侧。

双正则点与拐点

双正则点是使得参数曲线的一阶与二阶微分（它们是向量）线性无关的点。在双正则点上，曲线既无拐点亦非直线。在非双正则点上曲率为零，但是不一定有变号。在寻找参数曲线的拐点时，我们通常先以微分找出非双正则点，继之研究其局部性状，以判定是否为拐点。

注：某些作者偏好将拐点定义为“使一阶与二阶微分平行的点”，在此定义下，切线不一定在该点穿越曲线本身。

代数曲线的拐点

设<math>C</math>为域<math>F</math>上的平面代数曲线，其拐点定义为一平滑点<math>P \in C(F)</math>，使得该点切线<math>L_P</math>与<math>C</math>在<math>P</math>点的相交重数<math>\geq 3</math>。

注意到一条曲线与<math>C</math>在<math>P</math>点相切的充要条件是相交重数<math>\geq 2</math>。当<math>F = \mathbb{R}</math>时，代数曲线的拐点定义等价于上节注记中的广义定义。

参见

• 驻点
• 鞍点
• 极值

文献

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.