数列

数列（英语：Number sequence）是由数字组成的序列。另一种略为抽象的说法是——以正整数为定义域、值域是一个数系的函数。级数也是一种数列，不过它的每一项是另外一个数列的部分和。在微积分的教材中经常讨论的数列是实数序列和实数级数。一般的“序列”则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在计算理论中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。

正式定义

由于最一般的数为复数，可以作如下的定义：

数列的定义 — 一个 <math>a:\N\to\C </math> 的函数被称为无穷数列，可记为 <math>{\left\{ a_i \right\

_{i\in\N} </math> 、 <math>{\left\langle

a_i \right\rangle}_{i\in\N} </math> 或 <math>{\left( a_i \right)}_{i\in\N} </math> ，而 <math>a(i) </math> 会被简记为 <math>a_i </math> 。

若 <math>I_n = \left\{ 1,\,2,\,\cdots,\,n \right\} </math> ，则一个 <math>a:I_n\to\C </math> 的函数被称为有限数列，可记为 <math>{\left\{ a_k \right\}}^{n}_{k=1} </math> 、 <math>{\left\langle a_k \right\rangle}^{n}_{k=1} </math> 或 <math>{\left( a_k \right)}^{n}_{k=1} </math> 。 }} 在教学上常会如下标示有限数列，来增进对定义的直观理解：

<math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n= \left \langle a_1,\, a_2,\, a_3,\, \cdots ,\,a_n \right \rangle</math>

以上表达式中的每一个数被称为这个数列的“项”。<math>a_1 </math> 为数列的“第一项”、<math>a_2 </math> 为“第二项”，以此类推。<math>n </math> 被称为有限数列的项数。数列中的第一项常称为“首项”，最后一项则称为“末项”。注意有限数列也可以设为 <math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=0}^n</math> ，换句话说，把 <math>0 </math> 包含在数列的定义域中，并以第零项 <math>a_0 </math> 作为首项。无穷数列只有首项，没有末项，但类似的，也可不将<math>0</math>包含在无穷数列的定义域中，让无穷数列的首项为 <math>a_1 </math> 。

由数列中各个项的和组成的数列称为“级数”，换句话说

级数的定义 — 一个数列 <math>{\left\{ a_i \right\

_{i\in\N}</math> 的级数是另外一个数列 <math>{\left\{ s_i \right\}}_{i\in\N}</math> ，具有以下特性：

• <math>s_0 = a_0</math>
• 对所有的 <math>n\in\N</math> 有 <math>s_{n+1} = s_n + a_n</math>

}} 一般会将 <math>s_n </math> 写为 <math>\sum^{n}_{i=0} a_i </math> ，甚至更直观的 <math>a_0 + a_1 + \cdots + a_n </math> 来凸显级数源于求和的直观概念。

级数的概念可以推广至数列以外的序列，比如说函数序列的函数级数。

分类

单调性

• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≥ a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“递增数列”。把 ≥ 换成 > ，则称为“严格递增数列”。
• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≤ a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“递减数列”。把 ≤ 换成 < ，则称为“严格递减数列”。
• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 = a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“常数数列”。

有限性

• 若数列 <math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n</math> 的项数有限，则 ⟨a_k⟩ 为“有限数列”。
• 若数列 <math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^\infty</math> 的项数无限，则 ⟨a_k⟩ 为“无穷数列”。

有界性

• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，M ≤ a_n ≤ N ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“有界数列”。 M 称为“下界”， N 称为“上界”。
• 若对数列 ⟨a_k⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“无界数列”。

收敛性与极限

收敛性是数列的一个重要性质。如果一个数列逐渐趋近于某一个值，就称该数列为收敛数列，否则称为发散数列。

简单的说，一个数列<math>\{x_n\}</math>有极限，便是它的数列中的元素逐渐地越来越靠近<math>L</math>（称为极限值），但是它们仍然任意得很靠近极限值<math>L</math>，而不一定恰好相等。

举例来说：当 <math>a_n=\frac{1}{n}</math> 时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于0。当 <math>a_n=5 - \frac{3n^2-9}{n^2+1}</math>时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于2。

此外，值得注意的是，当一个数列有极限值时，它的极限值一定是唯一的。一般来说，当数列收敛，我们会记<math>\lim_{n \to \infty }a_{n} = L</math>。

收敛的严格定义

我们说一个实数数列<math>\{a_n\}</math>收敛于实数<math>L</math>；如果对任意的<math>\epsilon>0</math> ，存在一个正整数<math>N \in \N</math>，使得对所有的<math>n \geq N</math>，有<math>|a_{n}-L|<\epsilon</math>。

重要的特殊数列

• 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列<math>1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots</math>。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于<math>2</math>；<math>9999</math>与<math>9997</math>的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为<math>d</math>，并且<math>d</math>可为0。

若设首项<math>a_1 = a</math>，则等差数列的通项公式为<math>a_n=a_1+(n-1)d</math>。

• 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中国则称之为“素数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

• 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列<math>2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots</math>。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，<math>2^{198}</math>与<math>2^{197}</math>的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为<math>r</math>。

若设首项<math>a_1 = a</math>，则等比数列的通项公式为<math>a_n=ar^{n-1}</math>。

• 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首两项均是1，从第3项起，每一项均为前两项的和。

以数学符号表示，即<math>a_1=a_2=1</math>，且对于<math>n\ge 3</math>，<math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}</math>。

斐波那契数列的通项公式为<math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]</math>。

• 素数数列：目前找不到规律的特殊数列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,............
• 正负相间：<math>(-1)^n</math>或<math>(-1)^{n-1}</math>
• 隔项有零：<math>\frac{1}{2} [(-1)^n+1]</math>或<math>\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]</math>

数列的求和

主条目：求和符号

通常对第1项到第<math>n</math>项求和，记为<math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数<math>n</math>的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通项公式的求解

主条目：递推关系式

通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

逐差全加

给定数列差<math>d_n</math>时逐差全加，例如：

<math>a_1=1</math>，<math>d_n=a_n-a_{n-1}=2n</math>, 求<math>a_n</math>

<math>a_n=a_1+\sum_{k=2}^n d_k=n^2+n-1</math>

逐商全乘

给定数列比<math>r_n</math>时逐差全乘，例如：

<math>a_1=1</math>，<math>r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}</math>，求<math>a_n</math>

<math>a_n=a_1\prod_{k=2}^n r_k=n</math>

从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由<math>S_n=\sum_{k=1}^n a_n</math>可知<math>S_n-S_{n-1}=a_n</math>

把<math>S_n</math>看成一个数列，可以先对<math>S_n</math>进行求解，然后得出<math>a_n</math>。

换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知<math>Aa_{n+1}+Ba_n+C=0</math>，其中<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>都是常数，求<math>a_n</math>。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

• 如果<math>A\ne-B</math>，那么这个式子就可以化成下面的形式：

<math>A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)</math>。
求出<math>k</math>，那么数列<math>{a_n+k}</math>就是一个等比数列，从而求出通项公式。

• 如果<math>A=-B</math>，这个递推关系就不能化为等比数列。如果<math>A=-B</math>，那么它就是等差数列。另外，当<math>A=B</math>的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
• 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

<math>Aa_{n+1}+Ba_n+C=0</math>
<math>Aa_n+Ba_{n-1}+C=0</math>
两边相减就有：<math>A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0</math>，如此就化成了一个等比数列。

已知<math>Aa_{n+1}+Ba_n+Ca_{n-1}+D=0</math>,其中<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>、<math>D</math>都为常数，求<math>a_n</math>；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：
<math>Aa_{n+1}+Ea_n=k(Aa_n+Ea_{n-1})-D </math>
求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列<math>{Aa_n+Ea_{n-1}}</math>的通项公式，然后求出<math>a_n</math>的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

参见

• 整数数列线上大全 (OEIS)