级数

File:Disambig gray.svg此条目介绍的是一个序列的总和。关于用序列表述的一串数字，请见“数列”。

级数（英语：Series）代表某序列之和，例如序列<math>a_1,\,a_2,\, a_3,\,a_4,\,\ldots</math>的级数<math>S_n</math>可以表示成<math>S_n = a_1 + \ldots + a_n</math>，如果被取和的序列是有穷序列，相对应的级数被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。

级数本身也是一种序列（代表加到第<math>n</math>项）。就跟普通序列一样，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定义相应级数，前提是必须要有加法（如实数加法、向量加法与矩阵加法等等）。

如果某级数来自于对常数序列取和，则称之为常数（项）级数，如果来自于函数序列，则称之为函数（项）级数。

无穷级数不像有穷级数可以加到最后一项，所以作为替代，通常会尝试将项数趋近于无穷大来取“最终的和”，具体来说，也就是对级数<math>S_n</math>取极限<math>\lim_{n\to\infty} S_n</math>。如果这个极限存在，会仿造数列极限，将这个无穷级数称为收敛的（convergent）；反之称为发散的（divergent）。（而且要能定义极限还需要距离来比较远近）

正式定义

定义 — 
<math>(A,\,\circ)</math> 是个交换群，对于定义在 <math>A</math> 上的序列 <math>{\{a_i \in A\

_{i \in \N}</math> ，存在唯一的序列 <math>{\{s_n \in A\}}_{n \in \N}</math>满足：

(1) <math>s_1 = a_1</math>

(2) 对所有正整数 <math>n \in \N</math>， <math>s_{n + 1} = s_n \circ a_{n + 1}</math>

这个唯一存在的序列被称为 <math>{\{a_i \in A\}}_{i \in \N}</math> 的级数（series）。 }}

也就是说，只要 <math>A</math> 上有定义一种有交换律的“运算”，那定义在 <math>A</math> 的序列<math>{\{a_i \in A\}}_{i \in \N}</math>都可以“取和”，而它的“部分和”可以构成某个唯一的序列<math>{\{s_n \in A\}}_{n \in \N}</math>。也就是说，一般会将 <math>\circ</math> 视为加法“<math>+</math>” ，而将<math>s_n</math>更加直观的记为：

<math>s_n = a_1 + \ldots + a_n</math>

然后把<math>s_n</math>直观地称为部分和。

通常会做以下的符号定义：

<math>\sum^{n}_{j = 1} a_j := s_n</math>

而将　<math>{\{s_n \in A\}}_{n \in \N}</math>　记为　<math>{\left\{\sum^{n}_{j = 1} a_j \right\}}_{n \in \N}</math>甚至是更直观的 <math>\sum^{n}_{j = 1} a_j </math>

有穷级数

以上定义的级数，在直观上被理解成“无穷级数”（infinite series）；但所谓的“有穷序列”，也只是从某个正整数 <math>m \in \N</math> 开始，只要正整数 <math>i \geq m</math> 就有 <math>a_i = 0_A</math> （<math>(A,\,\circ)</math>的单位元，可直观理解成一般加法的“零”）。所以“有穷序列”取部分和而得到的“有穷级数”（finite series），事实上包含在上述定义中；换句话说，有穷级数是对从某项 <math>m \in \N</math> 开始为零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎么加，部分和最大都只能到 <math>\sum^{m}_{j = 1} a_j</math>。

无穷级数的敛散性

对于级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>，如果当<math>n</math>趋于正无穷大时，<math>s_n</math>趋向一个有限的极限：<math>s=\lim_{n\to\infty}s_n</math>，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，<math>s</math>叫做级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和<math>s</math>。这时可以定义级数<math>\sum u_n</math>的余项和：<math>R_n=S-S_n</math>。

任意项级数

如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>中的各项可以是正数，负数或零，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>称为任意项级数。 将任意项级数各项<math>u_n</math>取绝对值，得到正项级数。 <math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|=|u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots+|u_n|+\cdots</math>

条件收敛

如果任意项级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛，而级数<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>发散，则称级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>条件收敛。

绝对收敛

如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>的各项的绝对值所组成的正项级数<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>收敛，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛。

证明：

令 <math>a_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n),b_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)</math> 于是，有 <math>0\le a_n\le|u_n|,0\le b_n\le|u_n|</math> 因为<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>,<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>均为正项级数，且<math>\sum_{n=1}^\infty |u_n|</math>收敛，由比较审敛法知，级数<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>和<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>收敛。 又因为<math>\sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)</math>,所以由级数的定义可得，级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛。 该定理表明，如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>绝对收敛，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>必收敛。

收敛级数的性质

• 若一个无穷级数<math>\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n+ \cdots </math>收敛，其和为<math>s</math>，则如果每一项乘以一个常数<math>a</math>，得到的级数<math>\sum a u_n  : \ au_1+au_2+au_3+\cdots+au_n+\cdots</math>也收敛，且和等于as。
• 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

<math>\sum_{n=1}^\infty u_n = s</math>和 <math>\sum_{n=1}^\infty v_n = t</math>，则

<math>\sum_{n=1}^\infty (u_n \pm v_n) =s \pm t</math>.

• 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

<math>s=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots</math>和 <math>s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots+u_n+\cdots</math>

这两个级数的敛散性是一样的。

• 当<math>n</math>趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：<math>\lim_{n\to\infty}u_n=0</math>
• 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数<math>\sum_{n=1}^ {+ \infty} u_n</math>收敛的充要条件是，对任意<math> \epsilon > 0 </math> ，总存在<math> N_ 0 > 0 </math>，使得任意的<math> n > m > N_ 0 </math>，<math>|s_n - s_m|=|\sum_{k=m+1}^n u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{n}| < \epsilon </math>。

无穷级数的研究历史

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

对审敛法的研究

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

<math>1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots</math>

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

<math>1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots</math>

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

对一致连续性的研究

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。

类别

更多级数请参见级数列表。

几何级数

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几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}=2</math>

一般来说，几何级数<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>收敛当且仅当<math>\left \vert z \right \vert < 1</math>。

调和级数

主条目：调和级数

调和级数是指通项为<math>{1 \over n}</math>的级数：

<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}</math>

它是发散的。

<math>p</math>-级数

<math>p</math>-级数是指通项为<math>\frac{1}{n^p}</math>的级数：

<math>U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}</math>

对于实数值的<math>p</math>，当<math>p>1</math>时收敛，当<math>p\leq 1</math>时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数<math>\zeta : p \mapsto U_p</math>是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼<math>\zeta</math>函数有著名的黎曼猜想。 特别地，当<math>p=1</math>时，<math>p</math>-级数即为调和级数。

裂项级数

<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>

收敛当且仅当数列<math>b_n</math>收敛到某个极限<math>L</math>，并且这时级数的和是<math>b_1-L</math>。

泰勒级数

主条目：泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数<math>f</math>在一点<math>a</math>附近取值的级数。泰勒函数由函数在点<math>a</math>的各阶导数值构成，具体形式为：

<math>

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} </math> 这是一个幂级数。如果它在<math>a</math>附近收敛，那么就称函数<math>f</math>在点<math>a</math>上是解析的。

交错级数

具有以下形式的级数

<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>

其中所有的<math>a_n</math>非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

幂级数

主条目：幂级数

形同<math>\sum a_n (x- x_0)^n</math>的函数项无穷级数称为<math>x- x_0</math>的幂级数。它的收敛与否和系数<math>a_n</math>有关。

傅里叶级数

主条目：傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为<math>2 \pi</math>的周期函数<math>f(x)</math>可以表示为：

<math>f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1, 2, 3, \ldots</math>

其中，<math>a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx</math>，<math>b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx</math>，特别的，<math>a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx</math>

常数项无穷级数审敛法

主条目：审敛法

正项级数

若通项为实数的无穷级数<math>\sum u_n</math>每一项<math>u_n</math>都大于等于零，则称<math>\sum u_n</math>是一正项级数。

如果无穷级数 <math>\sum u_n</math> 是正项级数，则部分和<math>S_n</math>是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列S_n有界，<math>\sum u_n</math>收敛，且<math>\lim_{n \to \infty}S_n =s</math> ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

比较判别法

设<math>\sum u_n</math> 和 <math>\sum v_n</math>是正项级数。

如果存在正实数<math>M</math>，使得从若干项开始，<math>u_n \le Mv_n</math>（也就是说<math>u_n = O_{\infty} (v_n)</math>），则

• 当<math>\sum v_n</math> 收敛时，可推出 <math>\sum u_n</math> 也收敛。
• 当<math>\sum u_n</math> 发散时，可推出 <math>\sum v_n</math> 也发散。

如果<math>\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0</math>，则

• 当<math>\sum v_n</math> 收敛时，可推出 <math>\sum u_n</math> 也收敛。
• 当<math>\sum u_n</math> 发散时，可推出 <math>\sum v_n</math> 也发散。

如果<math>\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1</math>或其它有限数，则<math>\sum v_n</math> 和<math>\sum u_n</math> 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：<math>\sum {1 \over n^2}</math>收敛，则级数：<math>\sum {|\sin n | \over n^2}</math>也收敛，因为对任意的<math>n</math>，<math>\sin n \le 1</math>。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：<math>U_p =\sum {1 \over n^p}</math>作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当<math>p \le 1</math>时，<math>U_p</math>发散，当<math>p > 1</math>时，<math>U_p</math>收敛。

达朗贝尔判别法

主条目：达朗贝尔审敛法

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设<math>\sum u_n</math>是通项大于零的正项级数。并且<math>\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p</math>，则

• 当<math>p < 1</math> 时，级数<math>\sum u_n</math>收敛。
• 当<math>p > 1</math> 时，级数<math>\sum u_n</math>发散。
• 当<math>p = 1</math> 时，级数<math>\sum u_n</math>可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

柯西收敛准则

主条目：根值审敛法

设 <math>\sum u_n</math> 是正项级数。并且<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p</math>，则

• 当<math>p < 1</math>时，级数 <math>\sum u_n</math> 收敛。
• 当<math>p > 1</math>时，级数 <math>\sum u_n</math> 发散。
• 当<math>p = 1</math>时，级数 <math>\sum u_n</math> 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

交错级数

主条目：交错级数判别法

具有以下形式的级数

<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>

其中所有的<math>a_n</math>非负，被称作交错级数。

莱布尼茨判别法

主条目：莱布尼茨审敛法

在上述的级数<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>中，如果当<math>n</math>趋于无穷时, 数列<math>a_n</math>的极限存在且等于 0，并且每个<math>a_n</math>小于<math>a_{n-1}</math>（即, 数列<math>a_n</math>是单调递减的），那么级数收敛。

任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数<math>\sum u_n</math>，将级数<math>\sum |u_n|</math>称为它的绝对值级数。可以证明，如果<math>\sum |u_n|</math>收敛，那么 <math>\sum u_n</math>也收敛，这时称 <math>\sum u_n</math>绝对收敛。如果<math>\sum u_n</math>收敛，但是<math>\sum |u_n|</math>发散，则称<math>\sum u_n</math>条件收敛。比如说，级数<math>\sum {\sin n \over n^2}</math>绝对收敛，因为前面已经证明 <math>\sum {| \sin n | \over n^2}</math>收敛。而级数<math>\sum {(-1)^n \over n}</math>是条件收敛的。它自身收敛到<math>\ln {1 \over 2}</math>，但是它的绝对值级数<math>\sum {1 \over n}</math>是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数<math>\sum u_n</math>条件收敛，那么对于任意的实数<math>x</math>，存在一个正整数到正整数的双射<math>\sigma</math>，使得级数<math>\sum u_{\sigma(n)}</math>收敛到 <math>x</math>。对于正负无穷大，上述双射也存在。

函数项级数

设<math>(u_n (x))_{n \ge 0}</math>为定义在区间<math>\mathcal{I}</math>上的函数列，则表达式：<math>u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + \cdots</math>称为函数项级数，简记为<math>\sum u_n (x)</math>。对函数项级数的主要研究是：

1. 确定对哪些<math>x</math>，<math>\sum u_n (x)</math>收敛。
2. <math>\sum u_n (x)</math>收敛的话，其和是什么，有什么性质？

收敛域

对区间<math>\mathcal{I}</math>上的每个 <math>x_0</math>，级数 <math>\sum u_n (x_0)</math>是常数项级数。若 <math>\sum u_n (x_0)</math>收敛，则称<math>x_0</math>是<math>\sum u_n (x)</math>的一个收敛点，<math>\sum u_n (x)</math>全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 <math>\sum u_n (x_0)</math>发散，则称<math>x_0</math>是<math>\sum u_n (x)</math>的一个发散点，<math>\sum u_n (x)</math>全体发散点的集合称为它的发散域。<math>\sum u_n (x)</math>在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为<math>\sum u_n (x)</math>的和函数，记为<math>S(x)</math>。按照定义，<math>S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0)</math>，其中<math>S_n(x_0) = u_1 (x_0) + u_2 (x_0) + \cdots + u_n (x_0)</math>为函数项级数在<math>x_0</math>点上的部分和。

一致收敛

主条目：一致收敛

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数<math>\sum u_n (x)</math>中的每一项<math>u_n (x)</math>在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设<math>\displaystyle u_n (x) = x^n - x^{n+1}</math>，也就是说<math>\displaystyle u_0 (x) = 1 - x</math>，<math>\displaystyle u_1 (x) = x - x^2</math>等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在<math>x</math> 点上的部分和<math>S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^k - x^{k+1}) =1 - x^{n+1} </math>。在区间<math>[0, 1]</math>的每一点上，部分和都有极限：

当<math> x \neq 1</math>时，<math>S_n(x) \rightarrow 1

</math>

当<math>\displaystyle x = 1</math>时，<math>S_n(x) \rightarrow 0

</math>

于是在区间<math>[0, 1]</math>上，级数<math>\sum u_n (x)</math> 收敛，其和函数<math>S(x)</math>为：

当<math> 0 \le x < 1</math>时，<math>S(x) = 1</math>；<math>S(1) = 0</math>。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数<math>\sum u_n (x)</math>在某个区间<math>\mathcal{I}</math>内（关于某个范数<math>\left \| \cdot \right \|</math>）一致收敛的定义是它的部分和函数<math>S_n</math> 在区间<math>\mathcal{I}</math>上一致收敛到和函数<math>S</math>，

<math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| S - S_n \right \|_{\mathcal{I}} = 0</math>

或者写成<math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| \sum_{k=n}^{\infty} u_k \right \|_{\mathcal{I}} = 0</math>

可以证明：

如果级数<math>\sum u_n (x)</math> 在区间<math>\mathcal{I}</math> 内一致收敛，并且每个<math>u_n (x)</math> 都是连续函数，那么和函数<math>S</math> 在区间<math>\mathcal{I}</math> 上也是连续函数。

进一步的，如果导函数级数的每一项都是<math>\mathcal{C}^p</math>函数（<math>p</math>阶连续可微函数），并且各阶导函数级数<math>\sum u_n (x), \sum u_n^{(1)} (x), \sum u_n^{(2)} (x), \ldots, \sum u_n^{(p)} (x)</math>在区间<math>\mathcal{I}</math>内都一致收敛，那么级数和函数<math>S(x) = \sum u_n (x)</math> 也是<math>\mathcal{C}^p</math>函数，并且：

<math>\forall 0 \le i \le p</math> ，<math>S^{(i)}(x) = \sum u_n^{(i)} (x)</math>。

绝对收敛

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间<math>\mathcal{I}</math>和范数<math>\left \| \cdot \right \|_{\mathcal{I}}</math>，函数项级数<math>\sum u_n (x)</math>在区间<math>\mathcal{I}</math>内绝对收敛，当且仅当常数级数<math>\sum \left \| u_n \right \|_{\mathcal{I}}</math>收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间<math>\mathcal{I}</math>内一致收敛。

幂级数

主条目：幂级数

形同<math>\sum a_n (x- x_0)^n</math>的函数项无穷级数称为<math>x- x_0</math>的幂级数。一般只需讨论形同<math>\sum a_n x^n</math>的幂级数。

幂函数的收敛域

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为<math>( -R,R )</math>（可开可闭）的形式。这个正数<math>R</math>（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数<math>\sum a_n x^n</math>满足<math>\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho</math>，则：

• <math> \rho</math>是正实数时，<math>R = {1 \over \rho}</math>。
• <math> \rho = 0</math>时，<math>R = \infty</math>。
• <math> \rho = \infty</math>时，<math>R = 0</math>。

幂级数的和函数

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

渐进级数

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和

主条目：发散级数

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和、拉马努金求和以及欧拉求和

推广

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

参见

• 收敛
• 发散级数
• 函数级数
• 级数展开
• 求和变换
• 阿贝尔定理
• 黎曼级数定理
• 柯西-阿达马公式

参考文献

参考书目

• 同济大学数学系. 高等数学 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中国大陆））. 
• 北京大学数学科学学院. 数学分析 2. 北京大学出版社 （中文（中国大陆））.