极值

File:Disambig gray.svg“最大值”和“最小值”均重定向至此。关于几个数之中最大或最小的一个，请见“最大与最小元”。

在数学中，极值（extremum）是极大值（maximum）与极小值（minimum）的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。

定义

• 局部（相对）最大值：如果存在一个<math>\varepsilon >0</math>，使得所有满足<math>|x-x^{*}|<\varepsilon</math>的<math>x</math>都有<math>f(x^{*})\geq f(x)</math>，我们就把点<math>x^{*}</math>对应的函数值<math>f(x^{*})</math>称为一个函数<math>f</math>的局部最大值。从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。
• 局部（相对）最小值：如果存在一个<math>\varepsilon >0</math>，使得所有满足<math>|x-x^{*}|<\varepsilon</math>的x都有<math>f(x^{*}) \leq f(x)</math>，我们就把点<math>x^{*}</math>对应的函数值<math>f(x^{*})</math>称为一个函数f的局部最小值。从函数图像上看，局部最小值就像是山谷的底部。
• 全局（绝对）最大值：如果点<math>x^{*}</math>对于任何<math>x</math>都满足<math>f(x^{*})\geq f(x)</math>，则点<math>f(x^{*})</math>称为全局最大值。
• 全局（绝对）最小值：如果点<math>x^{*}</math>对于任何<math>x</math>都满足<math>f(x^{*}) \leq f(x)</math>，则点<math>f(x^{*})</math>称为全局最小值。

极值的概念不仅仅限于定义在实数域上的函数。定义在任何集合上的实数值函数都可以讨论其最大最小值。为了定义局部极值，函数值必须为实数，同时此函数的定义域上必须能够定义邻域。邻域的概念使得在<math>x</math>的定义域上可以有<math>|x-x^{*}|<\varepsilon</math>。

局部最大值（最小值）也被称为极值（或局部最优值），全局最大值（最小值）也被称为最值（或全局最优值）。

求极值的方法

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数，求极值的一种方法是求驻点（亦称为静止点，停留点，英语：stationary point），也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正，那么这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。

一般地，如果在驻点处的一阶、二阶、三阶......直到N阶导数都是零，而<math>N+1</math>阶导数不为零，则当<math>N</math>奇数且<math>N+1</math>阶导数为正时，该点为极小值；当<math>N</math>是奇数且<math>N+1</math>阶导数为负时，该点为极大值；如果<math>N</math>是偶数，则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内，则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点，则这些不可导点也可能是极值点。

例子

• 函数<math>x^2</math>有惟一最小值，在<math>x = 0</math>处取得。
• 函数<math>x^3</math>没有最值，也没有极值，尽管其一阶导数<math>3x^2</math>在<math>x = 0</math>处也为0。因为其二阶导数(<math>6x</math>)在该点也是0，但三阶导数不是零。
• 函数<math>\cos(x)</math>有无穷多个最大值，在<math>x=0,\pm 2\pi, \pm 4\pi,\cdots</math>，与无穷多个最小值在<math>x=\pm\pi, \pm 3\pi,\cdots</math>。

求函数的极值时还应当考虑其不可导点，即导数不存在的点。如函数<math>y=|x|</math>中0处的导数不存在，事实上从图像上也能看出这一点来。而且0就是该函数的一个极小值。

多变量函数

对于多变量函数（多元函数），同样存在在极值点的概念。其定义为：

设<math>f(P)</math>在点<math>P_0</math>某邻域<math>U(P_0)</math>内有定义，若对于所有<math>P_0</math>的去心邻域的点<math>P</math>，都有<math>f(P)<f(P_0)</math>，则称<math>P_0</math>是<math>f(P)</math>的极大值；反之，则为极小值。

此外，也有鞍点的概念。

参见

• 机械平衡
• 极值定理