餘切

餘切
File:Cotan proportional.svg
性質
奇偶性	奇
定義域	<math>\left\{x\in\mathbb{R}
到達域	(-∞,+∞)
周期	<math>\pi</math> （180°）
特定值
當x=0	N/A
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	<math>x=k\pi</math> （x=180°k）
根	<math>k\pi+\tfrac{\pi}{2}</math> （180°k+90°）
不動點	當x軸為弧度時： ±0.8603335901348... （±49.293483624153...°） ±3.4256184594817... （±196.2734799504...°） ±6.4372981791719... （±368.830017133802...°） ... 當x軸為角度時： ±7.5474493991049...° ±180.317745721075...° ±360.159084234679...° ...
k是一個整數。

餘切（英語：Cotangent，一般記作<math>\cot</math>，或者ctg）是三角函数的一种，是正切的餘角函數。它的定义域是整个不等于<math>k\pi</math>（180°k）的实数的集合，<math>k</math>为整数，值域是整个实数集。它是周期函数，其最小正周期为<math>\pi</math>（180°）。餘切函数是奇函数。

餘切函數在各个小区间上单独看為单调递减函數，和正切互為倒數，其函數圖形和正切函數圖形對稱於<math>\frac{\pi}{4}</math>（45°）；該函數不連續，有奇點<math>k\pi</math>（180°k），其中<math>k</math>是一個整數。

符号说明

余切最早用符号tan.com表示，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。

定义

直角三角形中

File:Rtriangle.svg

直角三角形，<math>\angle C</math>為直角，<math>\angle A</math>的角度為 <math> \theta </math>， 對於<math>\angle A</math>而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角的餘切定义为它的鄰邊与對邊的比值，也就是：

<math> \cot \theta = \frac {\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\, = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}</math>

可以發現其定義和正切函數互為倒數。

直角坐标系中

设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则α的正切定义为：

<math>\cot \alpha = \frac{x}{y}</math>

单位圆定义

File:Unit circle angles.svg

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角<math> \theta </math>，并与单位圆相交，並令这个交点為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於<math>\overline{Oy}</math>，並與单位圆相切，令直線與y軸的交點，則此點與y點之距離為餘切比值。

File:Circle-trig6.svg

单位圆上的餘切

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，產生斜边等于 1 的无限数目個三角形的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>（360°）或小于<math>-2\pi</math>（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函數变成了周期为<math>2\pi</math>（360°）的周期函数；但由於餘切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是<math>\pi</math>（180°），所以正切是周期为<math>\pi</math>（180°）的周期函数:

<math>\cot\theta = \cot\left(\theta + \pi k \right) = \cot\left(\theta + 180^\circ k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何整数<math>k</math>。

級數定義

餘切函數也可以使用泰勒展開式定義

<math>\cot x = \frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2 x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\frac{2 x^9}{93555}+...=\frac{1}{x}- \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1}.</math>

其中<math>B_{2n}</math>為伯努利數。

另外，我们也有

<math>\cot x=\frac{1}{x}-2x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\pi^2-x^2}.</math>

微分方程定义

cot的微分是負csc的平方

<math>\cot 'x\ = -\csc^2 x</math>

另外

<math>\int \cot x \, dx = \ln (\sin x)</math>

所以可以用

<math>\cot x = (\ln (\sin x))' \,</math>來定義。

指数定义

<math>\cot \theta = \frac{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

恒等式

用其它三角函数来表示餘切

函數	<math>\sin</math>	<math>\cos</math>	<math>\tan</math>	<math>\cot</math>	<math>\sec</math>	<math>\csc</math>
<math>\cot \theta </math>	<math> {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} </math>	<math> {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}} </math>	<math> {1 \over \tan\theta} </math>	<math> \cot\theta\ </math>	<math> {1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} </math>	<math> \sqrt{\csc^2\theta - 1} </math>

和差角公式

<math>\cot(\theta\pm\psi)=\frac{\cot\theta\cot\psi\mp1}{\cot\psi\pm\cot\theta}</math>

二倍角公式

<math>\begin{align}\cot 2\theta &= \frac{\cot^2 \theta - 1} {2\cot\theta}\\ & = \frac{1}{\cot\theta - 1\frac{1}{\cot\theta + 1}\\ \end{align}</math>

半角公式

<math>\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \end{align}</math>

三倍角公式

<math>\cot 3\theta =\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1}</math>

余切定理

主条目：余切定理

File:Triangle with notations 2.svg

一个三角形。它的三个内角及其对边。

余切定理是三角学中关于三角形内切圆半径的定理。

假设<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, 与<math>\gamma</math>是三角形的三个内角，<math>a</math>, <math>b</math>, 与<math>c</math>是与之对应的三个对边，若

<math> \zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)} </math> （这个三角形的内切圆半径），其中：

<math> s = \frac{a+b+c}{2 } </math>（<math>s</math>就是三角形的半周长），

那么余切定理告诉我们：

<math>\cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta }</math>

<math>\cot{ \frac{\beta}{2 }} = \frac{s-b}{\zeta }</math>

<math>\cot{ \frac{\gamma}{2 }} = \frac{s-c}{\zeta }</math>

还有

<math> \frac{\cot\frac{\alpha}{2}}{s-a} = \frac{\cot\frac{\beta}{2}}{s-b} = \frac{\cot\frac{\gamma}{2}}{s-c}. </math>

总而言之：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 正割
• 餘割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波