可數集
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在數學上，可數集，或稱可列集，是與自然數集的某個子集具有相同基數（等勢）的集合。在這個意義下，可數集由有限可數集和無限可數集組成。不是可數集的無窮集稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素，正如其名，是「可以計數」的：儘管計數有可能永遠無法終止，集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。
「可數集」這個術語有時也指代可數無窮集，即僅代表能和自然數集本身一一對應的集合[1]。兩個定義的差別在於有限集合在前者中算作可數集，而在後者中不算作可數集。
為了避免歧義，前一種意義上的可數有時稱為至多可數[2]，後一種可數集則稱為無限可數集[3]。
定義[編輯]
如果從<math>S</math>到自然數集合<math>\mathbb{N}=\left \{ 1,2,3,\ldots \right \}</math>存在單射函數，則<math>S</math>稱為可數集。[4]
如果<math>S</math>還是滿射，則同樣是對射，則稱<math>S</math>是無限可數集。
換句話說，一個集合要想是無限可數集，它要和自然數集<math>\mathbb{N}</math>有一一對應關係。
如上所述，這個術語不普遍：一些作者在這裏使用可數來表示被稱為「無限可數」，並沒有包括有限集。
介紹[編輯]
由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的，因為我們可以將所有的<math>n</math>都對應到<math>2n</math>，如此就完成了一一對應。類似地，不難證明所有整數構成的集合<math>\mathbb{Z}</math>、所有有理數構成的集合<math>\mathbb{Q}</math>、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。
並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合<math>\mathbb{R}</math>是不可列的，即<math>\mathbb{R}</math>與<math>\mathbb{N}</math>之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數，因為剛才已經說過代數數是可列的；於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。
正規定義和性質[編輯]
由定義，如果存在從<math>S</math>到自然數集合<math>\mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,\ldots \right \}</math>存在單射函數<math>f:S\rightarrow \mathbb{N}</math>，則<math>S</math>稱為可數集。
這似乎自然地把集合劃分為不同類別：把所有包含一個元素的集合放在一起；包含兩個元素的集合在一起......最後，把所有無限集合放在一起，並認為它們具有相同的大小。然而，在大小的自然定義下，這種觀點是不確切的。
為了闡述這一點，我們需要一個對射的概念。雖然對射看起來比數更加高深，但原本數學發展中集論定義函數要先於數字。因為它們都是基於更簡單的集合。這就引出了對射的概念：
- <math>a\leftrightarrow 1,b\leftrightarrow 2,c\leftrightarrow 3</math>
由於<math>\left \{ a,b,c \right \}</math>的每個元素都可以和<math>\left \{ 1,2,3 \right \}</math>中準確的一個配對，並且反過來也同樣，這就定義了一個對射。
我們將這個情境一般化，定義當且僅當它們之間存在對射，兩個集合的大小相同。對於有限集，這裏給出了「大小相同」的常用定義。那麼對於無限集呢？
考慮集合<math>A=\left \{ 1,2,3,\ldots \right \}</math>（正整數集），和<math>B=\left \{ 2,4,6,\ldots \right \}</math>（正偶數集）。我們說，在我們的定義下，這些集合有相同的大小，並且因此B是無限可數集。我們需要證明它們之間存在對射。但這是很簡單的，運用<math>n\leftrightarrow 2n</math>，那麼
- <math>1\leftrightarrow 2,2\leftrightarrow 4,3\leftrightarrow 6,4\leftrightarrow 8,\ldots</math>
正如前面的例子，<math>A</math>的每個元素都已和<math>B</math>中準確的一個配對，並且反過來也同樣。因而它們大小相同。這給出了一個集合與其一個合適的子集大小相同的例子，這種情形在有限集中是不可能的。
同樣，自然數的有序對的集合，也就是自然數集合的笛卡爾積 <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>，是無限可數集，可以沿着圖中的一種路徑：
配對結果就像這樣：
- <math>0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0), 2\leftrightarrow (0,1), 3\leftrightarrow (2,0), 4\leftrightarrow (1,1), 5\leftrightarrow (0,2), 6\leftrightarrow(3,0), \ldots</math>
顯然這個映射可以覆蓋所有這些有序對。另一個證明方法是可以定義一個從自然數集合的笛卡爾積 <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>到自然數集合<math>\mathbb{N}</math>的單射函數<math>f(p,q) = 2^p3^q</math>。
利用數學歸納法，可知在n是個有限的自然數時，自然數集合的n-元笛卡爾積 <math>\prod_{i =1}^{n} \mathbb{N} = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\land\;\ldots\;\land\;x_n\in \mathbb{N}\}</math>是可數的。利用自然數集的笛卡爾積是可數的這點，可以證明整數集和有理數集是可數集，這是因為整數可以視為自然數的有序對（可將正整數<math>n</math>給視為<math>(n,0)</math>，將負整數<math>-n</math>給視為<math>(0,n)</math>），而以最簡分數形式表示的有理數<math>p/q</math>也可視為整數的有序對<math>(p,q)</math>所致。
另外，可數無限多個可數集的併集是可數的，這是因為可以定義一個單射函數，將可數無限多個可數集的併集給映至自然數集合的笛卡爾積 <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>之故。
不過可數無限多個自然數集合的笛卡爾積不是可數的，這可以透過康托的對角論證法證明。
參見[編輯]
註解[編輯]
- ↑ 例子參見(Rudin 1976，Chapter 2)
- ↑ 參見(Lang 1993，§2 of Chapter I).
- ↑ 參見(Apostol 1969，Chapter 13.19).
- ↑ 因為顯然N和N* = {1, 2, 3, ...}之間顯然存在對射，無所謂是否把0算作自然數。在任何情況，這篇文章都遵循ISO 31-11和數學邏輯中的標準傳統，將0作為自然數。
參考資料[編輯]
- Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4
- Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X
