幂等

在数学里，幂等有两种主要的定义。

• 在某二元运算下，幂等元素是指被自己重复运算（或对于函数是为复合）的结果等于它自己的元素。例如，乘法下唯一两个幂等实数为0（加法单位元）和1（乘法单位元）。
• 某一元运算为幂等的时，其作用在任一元素两次后会和其作用一次的结果相同。例如，高斯符号便是幂等的。
• 一元运算的定义是二元运算定义的特例（详情请见下面）。

定义

二元运算

设<math>S</math>为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则<math>S</math>的元素<math>s</math>称为幂等的(相对于<math>*</math>)当

<math> s*s = s</math>

特别的是，任一单位元都是幂等的。若<math>S</math>的所有元素都是幂等的话，则其二元运算*被称做是幂等的。例如，联集和交集的运算便都是幂等的。

一元运算

设<math>f</math>为一由<math>X</math>映射至<math>X</math>的一元运算，则<math>f</math>为幂等的，当对于所有在<math>X</math>内的<math>x</math>，

<math>f(f(x))=f(x)</math>

特别的是，恒等函数一定是幂等的，且任一常数函数也都是幂等的。

注意当考虑一由<math>X</math>至<math>X</math>的所有函数所组成的集合<math>S</math>时，<math>f</math>在一元运算下为幂等的当且仅当在二元运算下，<math>f</math>相对于其复合运算(标记为<math>o</math>)会是幂等的。这可以写成<math>f\operatorname{o}f=f</math>。

一般例子

函数

如上述所说，恒等函数和常数函数总会是幂等的。较不当然的例子有实数或复数引数的绝对值函数，以及实数引数的高斯符号。

将一拓扑空间X内各子集U映射至U闭包的函数在X的幂集上是幂等的。这是闭包算子的一个例子；所有个闭包算子都会是幂等函数。

环的幂等元素

定义上，环的幂等元素为一相对于环乘法为幂等的元素。可以定义一于环幂等上的偏序：若e和f为幂等的，当ef = fe = e时，标记为e ≤ f。依其顺序，0会是最小幂等元素，而1为最大幂等元素。

若e在环R内为幂等的，则eRe一样会是个乘法单位元为e的环。

两个幂等元素e和f被称为正交的当ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是幂等的，且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。

若e在环R内为幂等的，则f = 1 − e也会是幂等的，且e和f正交。

一在R内的幂等元素e称为核心的，若对所有在R内的x，ex=xe。在此情形之下，Re会是个乘法单位元为e的环。R的核心幂等元素和R的分解为环的直和有很直接的关接。若R为环R₁、...、R_n的直和，则环R_i的单位元在R内为核心幂等的，相互正交，且其总和为1。相反地，给出R内给相互正交且总和为1的核心幂等元素e₁、...、e_n，则R会是环Re₁、...、Re_n的直和。所有较有趣的是，每一于R内的核心幂等e都会给出一R的分解－Re和R(1 − e)的直和。

任一不等于0和1的幂等元素都是零因子(因为e(1 − e) = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种幂等元素。局部环也没有此种幂等元素，但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的幂等元素只有0。共四元数环内会有一幂等元素组成的悬链曲面。

所有元素都幂等的环称做布尔环。可证明在每一此类环内，乘法都是可交换的，且每一元素都有其各自的加法逆元。

其他例子

幂等运算也可以在布林代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。

在线性代数里，投影是幂等的。亦即，每一将向量投射至一子空间V（不需正交）上的线性算子，都是幂等的。

一幂等半环为其加法（非乘法）为幂等的半环。

参见

• 不动点