交比
- <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}</math>。
一般来说，交比可以定义在射影直线（黎曼球面就是复射影直线）。在任何仿射坐标卡中，交比由上式给出。交比是射影几何的不变量，就是说射影变换保持交比不变。 从前人们注意到如果四条直线穿过一点<math>P</math>，第五条直线<math>L</math>不穿过<math>P</math>，分别与四条直线交于四点，那么在<math>L</math>上按序取四点的有向长度，所算出的交比是独立于<math>L</math>。它是这四直线系的不变量。
对称[编辑]
各著作对交比有不同定义，不过各定义只相异于某些坐标的置换。一般来说，根据点<math>z_i</math>所给出的各种次序，交比可以取六个不同的值。因为四个坐标有24种排列，有些置换保持交比不变。实际上，任意两对坐标对换保持交比：
- <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)\,</math>。
运用这些对称，交比就有6个可能值，由点的次序决定：
| <math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\,</math> | <math>(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}</math> | |
| <math>(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}</math> | <math>(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\,</math> | |
| <math>(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}</math> | <math>(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}</math> |
从群论来说，对称群<math>S_4</math>以置换坐标来作用于交比上，这群作用的核为克莱因四元群（这是保持交比的群）。那么有效对称群是其商群，同构于<math>S_3</math>。
对某些<math>\lambda</math>值会有更强的对称，交比的可能值就少于六个。这些<math>\lambda</math>值对应于<math>S_3</math>对黎曼球面的作用的不动点（由以上六个函数给出）；等价地，就是在置换群内有非平凡稳定子群的点。
第一个这样的集合是<math>\{0, 1, \infty\}</math>。但若四点<math>z_i</math>相异，交比不可能取这些值。这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值：
- <math>(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,</math>
- <math>(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,</math>
- <math>(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty\,</math>
第二个这样的集点是<math>\{-1, \frac{1}{2}, 2 \}</math>。这情况古典上称为“谐和交比”。最对称的交比是当<math>\lambda = e^{\pm i\pi/3}</math>。这时交比只可能是这两个值。
从变换出发[编辑]
交比为黎曼球面的射影变换所保持，也称为莫比乌斯变换：
- <math>f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad ad-bc \ne 0</math>。
所谓它们保持交比就是指
- <math>(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4)\,</math>。
作用于黎曼球面上的麦比乌斯变换群有一性质：任意3点集要映射到另外的3点集，都存在唯一的麦比乌斯变换。（这个群作用有3重传递性。）所以给出黎曼球面上4点，有唯一变换把其中3点映射到点0，1，和∞。第四点映射到的点，与原来四点的交比有关。
要看到这点，注意到
- <math>(z,1;0,\infty) = \lim_{w\to\infty} \frac{z(1-w)}{z-w} = z\,</math>。
所以给出四点 <math>(z_1, z_2; z_3, z_4)</math>可以找到唯一变换f作映射
- <math>z_2 \to 1,\; z_3 \to 0,\; z_4 \to \infty</math>。
点<math>z_1</math>就被映射到<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = f(z_1)</math>。换个角度看，若把交比看为<math>z_1</math>的函数，交比是唯一的变换把点<math>(z_2, z_3, z_4)</math>映射到<math>(1,0,\infty)</math>。