复数 (数学)
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<math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math> File:NumberSetinC.svg
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圆周率 <math>\pi = 3.14159265 </math>… 對所有<math>z</math>及<math>w</math>，有
當定義了距離<math>d ( z , w ) = \left| z - w \right|</math>，複數體便成了度量空间，我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。 <math>z=a+ib</math>的共軛複數定義為<math>z=a-ib</math>，記作<math>\overline{z}</math>或<math>z^*</math>。如圖所示，<math>\overline{z}</math>是<math>z</math>关于實數轴的「对称点」。有
對於所有代數運算<math>f</math>，共軛值是可交換的。這即是說<math>f(\overline z) = \overline{f(z)}</math>。一些非代數運算如正弦「<math>\sin</math>」亦有此性質。這是由於<math>i</math>的不明確選擇——<math>x^2 = -1</math>有二解。可是，共軛值是不可微分的（參見全纯函数）。 一複數<math>z = re^{i\phi}</math>的「幅角」或「相位」為<math>\phi</math>。此值對模<math>2\pi</math>而言是唯一的。 對於乘法和除法分別有：
複數的三角函數運算[编辑]<math>z = (x+ iy)</math> <math>\sin{z} = \sin{x} \cosh{x} + i\cos{y} \sinh{y}</math> <math>\cos{z}=\cos{x} \cosh{x} - i \sin{y} \sinh{y}</math> <math>\tan{z}=\frac{\sin{z}}{\cos{z}}= \frac{\sin{x} \cosh{x} + i\cos{y} \sinh{y}}{\cos{x} \cosh{x} - i \sin{y} \sinh{y}}</math> <math>\cot{z}=\frac{1}{\tan{z}}=\frac{\cos{z}}{\sin{z}}= \frac{\cos{x} \cosh{x} - i \sin{y} \sinh{y}}{\sin{x} \cosh{x} + i\cos{y} \sinh{y}}</math> <math>\begin{align} \sec{z} &=\frac{1}{\cos{z}}=\frac{1}{\cos{x} \cosh{x} - i \sin{y} \sinh{y}} \\ &=\frac{\cos{x}\cosh{x}}{\left(\cos{x}\cosh{x}\right)^2+\left(\sin{y}\sinh{y}\right)^2}+i\frac{\sin{y}\sinh{y}}{\left(\cos{x}\cosh{x}\right)^2+\left(\sin{y} \sinh{y} \right)^2} \\ &=\frac{\cos{\bar{z}}}{\left\vert \cos{z} \right\vert ^2} \end{align}</math> <math>\begin{align} \csc{z}&=\frac{1}{\sin{z}}= \frac{1}{\sin{x} \cosh{x} + i\cos{y} \sinh{y}} \\ &=\frac{\sin{x} \cosh{x}}{\left(\sin{x}\cosh{x}\right)^2+\left(\cos{x}\sinh{x}\right)^2}+i\frac{-\cos{x} \sinh{x}}{\left(\sin{x}\cosh{x}\right)^2+\left(\cos{x}\sinh{x}\right)^2} \\ &=\frac{\sin{\bar{z}}}{\left\vert \sin{z}\right\vert ^2} \end{align}</math> 反函數: <math>\arcsin{z}=-i\ln{\left(iz+\sqrt{1+z^2}\right)}</math> <math>\arccos{z}=\frac{\pi}{2\arcsin{z} =-i\ln{\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)}</math> <math>\arctan{z}=\frac{i}{2}\ln{\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)}</math> <math>\arccot{z}=\frac{i}{2}\ln{\left(\frac{z+i}{z-i}\right)}</math> <math>\arcsec{z}=\arccos{\frac{1}{z}}=-i\ln{\left(\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}-1}\right)}</math> <math>\arccsc{z}=\arcsin{\frac{1}{z}}=-i\ln{\left(\frac{i}{z}+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}\right)}</math> 复数的双曲函数运算[编辑]<math>z=(x+ iy)</math> <math>\sinh{z}=\frac{e^z-e^{-z}}{2}</math> <math>\cosh{z}=\frac{e^z+e^{-z}}{2}</math> <math>\tanh{z}=\frac{\sinh{z}}{\cosh{z}}=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}</math> <math>\coth{z}=\frac{1}{\tan{z}}=\frac{\cosh{z}}{\sinh{z}}=\frac{e^z+e^{-z}}{e^z-e^{-z}}</math> <math>\operatorname{sech}{z} =\frac{1}{\cosh{z}}=\frac{2}{e^z+e^{-z}}</math> <math>\operatorname{csch}{z} =\frac{1}{\sinh{z}}=\frac{2}{e^z-e^{-z}}</math> 反函数: <math>\operatorname{arcsinh}{z}=\ln{\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)}</math> <math>\operatorname{arccosh}{z}=\ln{\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)}</math> <math>\operatorname{arctanh}{z}=\frac{\ln{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)}}{2}</math> <math>\operatorname{arccoth}{z}=\frac{\ln{\left(\frac{z+1}{z-1}\right)}}{2}</math> <math>\operatorname{arcsech}{z}= \operatorname{arccosh}{\frac{1}{z}}=\ln{\left(\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}-1}\right)}</math> <math>\operatorname{arccsch}{z}= \operatorname{arcsinh}{\frac{1}{z}}=\ln{\left(\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}\right)}</math> 复数运算的几何解释[编辑]考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。 两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点X, B, A的三角形是全等的。 两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。 点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。 极坐标形式[编辑]复数<math>z</math>也可以用极坐标来表示。<math>z</math>所对应的极坐标由叫做绝对值或模或大小的<math>r=\left \vert z \right \vert \geq 0</math>和叫做辐角或相位的<math>\varphi = \arg z</math>组成。若<math>r=0</math>，不论<math>\varphi</math>值为何，<math>z=0</math>。为了避免一个复数具有多种极坐标表示的情况，通常会设置<math>\arg 0 =0</math>，从而让<math>z=0</math>所对应的<math>\varphi</math>具有唯一的值：<math>0</math>。<math>r>0</math>时，复数在辐角<math>\varphi</math>模以<math>2\pi</math>后是唯一的；就是说，对于两个被视为极坐标表示的复数而言，若它们的辐角之差是<math>2\pi</math>的整数倍数，则这两个复数等价。因此，通常会限制<math>\varphi</math>在区间<math>(-\pi,\pi]</math>内，也就是说<math>-\pi <\varphi \leq \pi</math>，以此来避免一个复数具有多种极坐标表示的情况。 极坐标形式的写法[编辑]极坐标形式的写法
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。 使用欧拉公式还可以写为
这叫做“指数形式”。 从极坐标形式到笛卡尔坐标形式的转换[编辑]
从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换[编辑]
\begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\ +\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\ \mathrm{undefined} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0. \end{cases}</math> 前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
\begin{cases} +\arccos\frac{x}{r} & \mbox{if } y \geq 0 \mbox{ and } r \ne 0\\ -\arccos\frac{x}{r} & \mbox{if } y < 0\\ \mathrm{undefined} & \mbox{if } r = 0. \end{cases}</math> 极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根[编辑]在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。 使用三角恒等式得到
= r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math>， 和
= \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}</math>。
依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算，
任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。 两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。 乘以<math>i</math>对应于一个逆时针旋转90 度(<math>\frac{\pi}{2}</math> 弧度)。方程<math>i^2=-1</math>的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(<math>\pi</math>弧度)旋转。甚至算术中的<math>(-1)\times(-1)=+1</math>都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。 任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。<math>n</math>次方根给出为
对于<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，这里的<math>\sqrt[n]{r}</math>表示<math>r</math>的主<math>n</math>次方根。 <math>\begin{align}\ln{z} & =\ln{\left\vert z \right\vert}+i(\arg{z}+2\pi n) ,n \in \mathbb{Z} \\ & =\ln{\left\vert z \right\vert}+i\arg{z}\end{align}</math> 其中<math>\arg{z}</math>为<math>z</math>的辐角。 <math>\begin{align} \log_w{z} & =\frac{\ln{z}}{\ln{w}} \\ & =\frac{\ln{\left\vert z \right\vert}+i(\arg{z}+2\pi n)}{\ln{\left\vert w \right\vert}+i(\arg{w}+2\pi n)} ,n \in \mathbb{Z} \\ & =\frac{\ln{\left\vert z \right\vert}+i\arg{z}}{\ln{\left\vert w \right\vert}+i\arg{w}} \end{align}</math> 结论
<math>\begin{align} e^{w\ln{z}} &=\cosh{(w \ln{z})}+\sinh{(w\ln{z})} \\ &=\cosh{\left(w(\ln{\left\vert z \right\vert}+i(\arg{z}+2\pi n))\right)}+ \sinh{\left(w(\ln{\left\vert z \right\vert}+i(\arg{z}+2\pi n))\right)} ,n\in\mathbb{Z} \\ &=\cosh{\left(w(\ln{\left\vert z \right\vert}+i\arg{z})\right)}+ \sinh{\left(w(\ln{\left\vert z \right\vert}+i\arg{z})\right)} \\ &=\cosh{\left(w\ln{\left\vert z \right\vert}+iw\arg{z}\right)}+ \sinh{\left(w\ln{\left\vert z \right\vert}+iw\arg{z}\right)} \end{align}</math> <math>\Gamma{(z)} \approx\sqrt{2\pi}z^{z-\frac{1}{2}}e^{-z}</math> <math>z! \approx \sqrt{2\pi}(z+1)^{z+\frac{1}{2}}e^{-z+1}</math> 代数性质[编辑]下表给出任何复数<math>a, b, c</math>的加法和乘法的基本性质。
一些特性[编辑]矩阵表达式[编辑]这是个实用价值不大，但具数学意义的表达式，是将复数看作能旋转及缩放二维位置矢量的2×2实数矩阵，即是
a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\
\sin\varphi & \cos\varphi
\end{bmatrix} = r\exp\left(\varphi\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}\right),</math>
其中<math>a</math>及<math>b</math>为实数。可算出此类矩阵的和、积及乘法逆都是此类矩阵。此外
a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}</math> 即实数1对应着单位矩阵
1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}</math>， 而虚数单位<math>i</math>对应着
0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}</math>。 此矩阵令平面作逆时钟90度旋转，它的平方就是-1。 复数的绝对值就是行列式的平方根。这些矩阵对应相应的平面变换，其旋转角度等于复数的遍角，改变比例等于复数的绝对值。复数的轭就是矩阵的转置。 若矩阵中的<math>a</math>和<math>b</math>本来就是复数，则构成的代数便是四元数。由此，矩阵代表法可看成代数的凯莱-迪克森结构法。 实向量空间[编辑]<math>\mathbb{C}</math>可以视作二维实线性空间。[5]不同于实数域，复数域上不可能有与其算术相容的全序：<math>\mathbb{C}</math>并非有序域。 多项式的根[编辑]满足<math>p(z)=0</math>的复数z是多项式<math>p</math>的“根”。代数基本定理指出，所有<math>n</math>次多项式，不管实数系数抑或复数系数的，都刚好有<math>n</math>个复根（<math>k</math>重根按<math>k</math>个计算）。这定理等价于复数域是代数闭域。 事实上，复数域是实数域的代数闭包。它是多项式环<math>\mathbb{R}[X]</math>经由理想<math>\left \langle X^2+1 \right \rangle</math>显生出的商环：
这是一个域因为<math>X^2+1</math>为不可约多项式，而<math>X</math>在商环内对应着虚数单位<math>i</math>。 代数特征[编辑]复数域<math>\mathbb{C}</math>唯一（就域同构来说）的域拥有三项代数特征: 而然，<math>\mathbb{C}</math>包含很多与<math>\mathbb{C}</math>同构的子域。 不可排序[编辑]在<math>\mathbb{C}</math>上不可能建立与其加法及乘法相容之全序关系，即不存在一全序<math>\preceq</math>使得对于任意复数<math>z_1, z_2</math>，有<math>0 \preceq z_1, z_2 \Rightarrow 0 \preceq z_1+z_2, 0 \preceq z_1 z_2</math>。 复指数幂[编辑]计算一个实数的复数幂是可以的。<math>a^z</math>可以定义为<math>e^{z\cdot \ln(a)}</math>。 复分析[编辑]研究复变函数的理论称为复分析。它在应用数学和其他数学分支上都有许多实际应用。实分析和数论的结果，最自然的证明经常是以复分析的技巧完成（例子可见素数定理）。 复变函数的图像是四维的，所以不像实变函数般可以用平面图像表示。要表示复变函数的图像，可以用有颜色的三维图像表达四维信息，或者以动画表示函数对复平面的动态变换。 应用[编辑]系统分析[编辑]在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在复平面上进行的。 无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点 如果稳定系统的全部零点都位于左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。 信号分析[编辑]信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值<math>\left \vert z \right \vert</math>表示信号的幅度，辐角<math>\arg z</math>表示给定频率的正弦波的相位。 利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：
其中<math>\omega</math>对应角频率，复数<math>z</math>包含了幅度和相位的信息。 电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母<math>j</math>作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。） 反常积分[编辑]在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常积分，借由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。 量子力学[编辑]量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间，而薛定谔方程式亦包含<math>i</math> 虚数单位。 相对论[编辑]如将时间变量视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量张量 (Metric Tensor)方程。 应用数学[编辑]实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t)= ert的基函数的线性组合表示。 流体力学[编辑]电路分析[编辑]分形[编辑]一些分形如曼德博集合和茹利亚集（Julia set）是建基于复平面上的点的。 复数的平方根[编辑]复数的平方根是可以计算的。其公式为<math>\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}</math>。 参见[编辑]参考资料[编辑]
延伸阅读[编辑]
外部链接[编辑]
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