全序关系

全序关系，也称为线性顺序（英语：Total order, linear order）即集合<math>X</math>上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为<math>\leq</math>）。

若<math>X</math>满足全序关系，则下列陈述对于<math>X</math>中的所有<math>a,b</math>和<math>c</math>成立：

满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。链还常用来描述偏序集合的全序子集。

全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性：<math>a\leq a</math>，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。

严格全序[编辑]

对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：

<math>a< b</math>当且仅当<math>a\leq b</math>且<math>a\neq b</math>
<math>a< b</math>当且仅当<math>\neg(b\leq a)</math>（即<math>></math>为<math>\leq</math>的逆补关系）

性质：

我们可以通过指定<math><</math>为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序<math>\leq</math>：

另两个关联的关系是补关系<math>\geq</math>和<math>></math>，它们构成了四元组<math>\{<, >, \leq, \geq\}</math>。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

字典序的字母表，比如<math>A <B < C</math>等等。
全序集的任何保持原次序不变的子集。
满足完全性的偏序集。
基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。
若<math>X</math>为任何集合，<math>f</math>为<math>X</math>到一全序集的单射，则<math>f</math>诱导<math>X</math>为<math>x_1 < x_2</math>当且仅当<math>f(x_1) < f(x_2)</math>的全序集。
有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为<math>n</math>的单词可视为字母表集合的直积自乘<math>n</math>次所得结果集合中的元素。
拥有小于（<math><</math>）和大于关系（<math>></math>）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。
- 自然数集是最小的无上界全序集。
- 整数集是最小的无界全序集。
- 有理数集是最小的无界稠密全序集。
- 实数集是最小的无界连通全序集。

George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4