有序域

在数学的一个分支代数中，有序域是一个全序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。

定义

一个满足下面两个条件的、拥有全序关系<math>\leq</math>的域<math>(K,+,\cdot)</math>被定义为有序域：对于任何<math>K</math>中的元素<math>a, b, c</math>以下两个条件获得满足：

• 若<math>a \leq b</math>，则<math>a + c \leq b + c</math>。
• 若<math>0 \leq a</math>且<math>0 \leq b</math>，则<math>0 \leq a\cdot b</math>。

大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。

特性

由以上定义可以直接推导出以下特性（<math>a, b, c, d</math>是<math>K</math>的元素）：

• 一个正的元素的负数是负的，一个负的元素的负数是正的：即任何<math>K</math>中的<math>a</math>，假如<math>a\neq 0</math>则<math>-a<0<a</math>或<math>a < 0 < -a</math>。
• 不等式可以相加：<math>a \le b</math>和<math>c \le d</math>则<math>a + c \le b + d</math>。
• 不等式可以与正元素相乘：<math>a \le b</math>和<math>0 \le c</math>则<math>ac \le bc</math>。
• 平方数不是负的：<math>0 \le a^2</math>，尤其<math>0 < 1</math>。
• 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的：<math>0 < 1 + 1 + \cdots + 1</math>。

结构

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性<math>0 < 1 + 1 + \cdots + 1</math>。

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同构，且这个子域的排序与<math>\mathbb{Q}</math>一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话，则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的，而超实数则不具有。

有序域<math>K</math>的排序可用来定义<math>K</math>的拓扑空间，这个拓扑空间可由<math>\{x \in K \mid x < a\}</math>和<math>\{x \in K \mid x > a\}</math>作为准基来生成，称之为序拓扑。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子

• 有理数<math>\mathbb{Q}</math>组成最小的有序域
• 实数<math>\mathbb{R}</math>和其中的任何部分域
• 超实数