交换子
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在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设g及h 是 群G中的元素，他们的交换子是g −1 h −1 gh，常记为[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。
一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。
群论[编辑]
群G中两个元素g和h的交换子为元素
- [g, h] = g−1h−1gh
它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即gh = hg）。
环论[编辑]
- <math>[a, b] = ab - ba.</math>
量子力学[编辑]
量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即
- <math>[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}</math>；
其中；<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>均为量子力学的算符，<math>[\hat{A}, \hat{B}]</math>是其对易算符，也称交换子。
如果上式等于零，则称<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>是对易的，即意味着<math>\hat{A}</math>和<math>\hat{B}</math>两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。
量子力学中，交换子有以下特性:
- <math>[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]</math>
- <math>[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}+\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{B},\hat{C}]</math>
- <math>[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}+\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]</math>
- <math>[\hat{A},\hat{A}^n]=0,\quad n=1,2,3...</math>
- <math>[k\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},k\hat{B}]=k[\hat{A},\hat{B}]</math>
- <math>[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]]+[\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] = 0</math>
量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：
以下，<math>\hat{x}</math>是位置算符、<math>\hat{p}</math>是动量算符、<math>\hat{L}</math>是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而<math>\delta_{ij}</math>是克罗内克δ、<math>\epsilon_{ijk}</math>是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。
| 对易关系 | 更具体的形式 |
|---|---|
| <math>[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = 0</math> | <math>[\hat{x}, \hat{x}] = 0</math>、<math>[\hat{x}, \hat{y}] = 0</math> |
| <math>[\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0</math> | <math>[\hat{p}_x, \hat{p}_x] = 0</math>、<math>[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = 0</math> |
| <math>[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}</math> | <math>[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar</math>、<math>[\hat{x}, \hat{p}_y] = 0</math>、<math>[\hat{y}, \hat{p}_x] = 0</math>、<math>[\hat{y}, \hat{p}_y] = i\hbar</math> |
| <math>[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk}\hat{L}_k</math> | <math>[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z</math>、<math>[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x</math>、<math>[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y</math> |
正则对易关系[编辑]
物理学中，正则对易关系是正则共轭的量之间的关系，这样的量从定义可以发现：一个量是其共轭量的傅里叶变换的结果。举例来说：
- <math>[x,p] = i\hbar</math>
上面的x与p分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量，而<math>[x,p]=xp-px</math>为所谓<math>x</math>与<math>p</math>的交换算符，<math>i</math>是虚数单位，<math>\hbar</math>为约化普朗克常数，等于<math>h/2\pi</math>。此一关系常归功于马克斯·玻恩，并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。
与经典力学的关系[编辑]
相对于量子力学，经典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数<math>i\hbar</math>换成<math>1</math>：
- <math>\{x,p\} = 1 \,\!</math>
这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，经典的观测量<math>f,g</math>其量子对应项<math>\hat f,\hat g</math>应满足
- <math>[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \,</math>。
于1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。
延伸阅读[编辑]
- Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, （原始内容存档于2021-07-09）
- Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics需要免费注册 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X
- Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
- Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
- McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
- McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
