P-群

Template:Lowercase 在数学中的群论中，给定一质数 <math>p</math> ，<math>p</math>-群（Template:Langx）是每个元素的阶都是 <math>p</math> 的次方的一个群 <math>G</math> ；换言之，对每个 <math>G</math> 中的 <math>g</math> ，存在一个正整数 <math>n</math> 使得 <math>g</math> 的 <math>p^n</math> 次方等于单位元素， <math>g^{(p^n)} = e</math> 而对小于 <math>p^n</math> 的其他正整数 <math>m</math> 则有 <math>g^m \neq e</math>。

若 <math>G</math> 有限，则上述定义等价于 <math>G</math> 的阶为 <math>p</math> 的次方。有限 <math>p</math>-群的结构已被深入研究，其中一个使用类方程的标准结论为一个非平凡有限 <math>p</math>-群的中心不可能为一个平凡子群。一个 <math>p^n</math> 阶的 <math>p</math>-群会包含着 <math>p^i</math> 阶的子群，其中 <math>0 \leq i \leq n</math> 。更一般性地，每一个有限 <math>p</math>-群都会是幂零群，因而都是可解群。

有相同阶的p-群不一定会互相同构；例如，循环群C₄和克莱因四元群都是4阶的2-群，但两者并不同构。一个p-群不一定要是阿贝尔群；如8阶的二面体群即为一个非可换2-群。（但每个p²阶的群都会是可换的。）

以趋进的观点来看，几乎所有的有限群都会是p-群。实际上，几乎所有的有限群都是2-群：2-群的同构类与其阶至多为n之群的同构类的比例在当n趋进于无限大时会趋进于1。例如，其阶至多为2000的所有不同的群会有99%为1024阶的2-群。

每一个非当然有限群都会包括一个为非当然p-群之子群。详述请见西洛定理。

无限群的例子，见普吕弗群。

性质

<math>p</math>-群中，所有元素的阶都是有限的，因此<math>p</math>-群是周期群

另见

• 幂零群
• 西洛子群
• 普吕弗秩
• 超特别群