换位子群

在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 <math>[G,G]</math>、<math>G'</math> 或 <math>G^{(1)}</math> 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 <math>G</math> 的正规子群，换位子群 <math>G'</math> 是使得 <math>G</math> 对它的商群 <math>G/G'</math> 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 <math>G</math> 的可交换程度，根据换位子的定义 <math>[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}</math>, <math>x</math> 与 <math>y</math> 交换，即 <math>xy=yx</math>, 当且仅当 <math>[x,y]=e</math>, 即，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群<math>\{e\}</math>.

换位子

主条目：换位子

对群元 <math>g,\,h\in G</math>, <math>g</math> 与 <math>h</math> 的换位子为 <math>[g,\,h]=g^{-1}h^{-1}gh</math>. 换位子 <math>[g,\,h]</math> 等价于群幺 <math>e</math> 当且仅当 <math>gh=hg</math>, 即二者交换。一般情况下，显然有 <math>gh=hg[g,\,h]</math>.

该记号的顺序任定，有下述不同的定义方式，此时换位子将左乘，而非右乘二者的积：

<math>[g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}</math>,

此时有 <math>gh=[g,\,h]hg</math> 而非 <math>gh=hg[g,\,h]</math>.

对 <math>g</math> 和 <math>h</math> 来说，群 <math>G</math> 中形如 <math>[g,\,h]</math> 的元即称其换位子。幺 <math>e=[e,\,e]</math> 恒为换位子。群 <math>G</math> 交换当且仅当其换位子群平凡，即 <math>G'=\{e\}</math>.

下例对群 <math>G</math> 元 <math>s,\,g,\,h</math> 成立：

1. <math>[g,\,h]^{-1}=[h,\,g]</math>;
2. <math>[g,\,h]^s=[g^s,\,h^s]</math>，其中 <math>g^s := s^{-1}gs</math> 意指 <math>g</math> 关于 <math>s</math> 的共轭；
3. 由群同态保持：

   <math>\begin{align}

f\colon\, & G \to H,\\

       &   [g,\,h] \mapsto [f(g),\,f(h)].

\end{align}</math> 前两者蕴含 <math>G</math> 的换位子集对交换与共轭封闭。对第三条取 <math>H=G</math>, 即知换位子集稳定于 <math>G</math> 的任意自同态，这正是第二条的一般情况，只需取 <math>f</math> 作 <math>G</math> 的共轭自同构：

<math>\begin{align}

   f\colon\,&G\to G\\
   &x\mapsto x^s:=s^{-1}xs,

\end{align}</math>

即得第二条。

换位子的积未必是换位子。典例是由 <math>a,\,b,\,c,\,d</math> 生成的自由群内的 <math>[a,\,b][c,\,d]</math>. 已知存在两换位子其积非换位子的最小有限群，阶数为 96，在同构意义上有两种如此的 96 阶群。

定义

给定群 <math>G</math>，其换位子群 <math>[G,G]</math>（或称导群，记 <math>G'</math> 或 <math>G^{(1)}</math>） 是 <math>G</math> 的所有换位子所生成的子群：

<math>[G,G] = \{ g^{-1}h^{-1}gh \,\colon \, g, h \in G \}.</math>

由定义知，任意 <math>[G,\,G]</math> 的元有形式

<math>\prod_{i=1}^n[g_i,\,h_i]=[g_1,\,h_1]\cdots[g_n,\,h_n],\,n\in\mathbb{N}_+,\,\forall i,\,g_i,\,h_i\in G.</math>

此外由

<math>\left(\prod_i[g_i,\,h_i]\right)^s=\prod_i[g_i^s,\,h_i^s]</math>

知换位子群亦对 <math>G</math> 正规。对任意同态 <math>f\colon\,G\to H</math>，

<math>f\colon\,\prod_i[a_i,\,b_i]\mapsto\prod_i[f(a_i),\,f(b_i)]=[f(a_1),\,f(b_1)]\cdots[f(a_n),\,f(b_n)],</math>

故而 <math>f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].</math>

这表明换位子群可视作群范畴 <math>\mathsf{Grp}</math> 的函子，其部分含义将于下文探讨。此外倘取 <math>G=H</math>, 知换位子群于 <math>G</math> 的任意自同态下稳定：换言之，<math>[G,\,G]</math> 为 <math>G</math> 的全特征子群，这一性质远强于正规性。

换位子群亦定义作 <math>G</math> 的子集

<math>\left\{\left.\prod_{i\in I} g_i\right|\,\exists \varphi\colon I\leftrightarrow I,\,

\prod_{i\in I}g_{\varphi(i)}=e_G,\,\forall i,\,g_i\in G,\,I\subset\mathbb{N}\right\},</math> 即那些存在某种重排使得结果为幺的群元乘积构成的集合。

导集序列

导集能够迭代构造：

<math>G^{(0)}:=G</math>

<math>G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in\mathbb{N}.</math>

群 <math>G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots</math> 依次称 <math>n</math> 阶导群。下降正规序列

<math>\cdots\triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G</math>

即称导出序列。

对有限群而言，导出序列终止于完满群，其平凡与否皆有可能。而对于无限群，其导出序列不必终止于有限步，而可能以超限递归至持续无穷序数步，继而得到超限导出序列，其最终终止于群的完美核。

Abel 化

给定群 <math>G</math>, 商群 <math>G/N</math> 交换当且仅当 <math>[G,\,G]\subset N</math>.

商群 <math>G/[G,\,G]</math> 交换，称 <math>G</math> 的 Abel 化，常记作 <math>G^{\mathrm{ab}}</math> 或 <math>G_{\mathrm{ab}}</math>.

有范畴方向的实用诠释，映射 <math>\varphi\colon\,G\to G^\mathrm{ab}</math>. 换言之， <math>\varphi</math> 泛于任意从 <math>G</math> 到 Abel 群 <math>H</math> 的同态，或称任意从 <math>G</math> 到 Abel 群 <math>G</math> 的同态均可经由 <math>\varphi</math> 唯一分解：对任意 Abel 群 <math>H</math> 与群同态 <math>f\colon\, G\to H</math>, 存在唯一同态 <math>F\colon\, G^{\rm ab}\to H</math> 使得 <math>f=F\circ\varphi</math>. 正如由泛映射定义的对象通常所具的特点般，这表征 Abel 化子群 <math>G^{\rm ab}</math> 在典范同构意义下的唯一性，而显示构造的 <math>G\to G/[G,\,G]</math> 表征其存在性。

Abel 化函子是从 Abel 群范畴 <math>\mathsf{AbGrp}</math> 到群范畴 <math>\mathsf{Grp}</math> 的包含函子的左伴随。Abel 化函子 <math>\mathsf{AbGrp}\to\mathsf{Grp}</math> 的存在性令范畴 <math>\mathsf{AbGrp}</math> 拥有群范畴的反射子范畴，定义为其包含函子拥有左伴随的全子范畴。

<math>G^{\rm ab}</math> 另有一重要释义 <math>H_1(G,\,\mathbb{Z})</math>, 群 <math>G</math> 的整系数一阶同调群。

相关的群

群 <math>G</math> 交换当且仅当其导群平凡：<math>[G,\,G]=\{e\}</math>, 或等价地说，当且仅当其等于自身的 Abel 化。关于 Abel 化，定义见前述。

群 <math>G</math> 完满当且仅当其导群等于自身：<math>[G,\,G]=G</math>，或等价地说，当且仅当其 Abel 化平凡。这“相反”于阿贝尔群。

满足 <math>\exists n\in\mathbb N,\,G^{(n)}=\{e\}</math> 的群称可解群，这一条件宽于交换，亦即取 <math>n=1</math> 的情形。

满足 <math>\forall n\in\mathbb N,\, G^{(n)}\ne \{e\}</math> 的群称非可解群。

对序数 <math>\alpha</math> 满足 <math>G^{(\alpha)}=\{e\}</math> 的群称亚阿贝尔群，这一条件宽于可解，亦即取 <math>\alpha<\infty</math> 的情形。

完满群

主条目：完满群

若群 <math>G</math> 的导群等于自身，即 <math>G^{(1)}=G</math>, 称该群完满群，包含非交换单群及不动域 <math>\mathbb k</math> 上的特殊线性群 <math>\operatorname{SL}_n(\mathbb k)</math>.

例子

• 任意 Abel 群的换位子群均平凡。
• 域或除环 <math>\mathbb k</math> 上的一般线性群 <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb k)</math> 的换位子群等于特殊线性群 <math>\operatorname{SL}_n(\mathbb k)</math>, 若 <math>n\ne2</math>, 或 <math>\mathbb k</math> 不是拥有两个元素的域。
• 4 次交错群 <math>A_4</math> 的换位子群即 Klein 四元群 <math>V_4</math>。
• <math>n</math> 次对称群 <math>S_n</math> 的换位子群即 <math>n</math> 次交错群 <math>A_n</math>。
• 四元群 <math>Q=\{1,\,-1,\,{\rm i},\,{\rm -i},\,{\rm j},\,{\rm -j},\,{\rm k},\,{\rm -k}\}</math> 的换位子群为 <math>\{1,\,-1\}</math>。

从 <math>\operatorname{Out}</math> 出发的映射

由于导群是特征子群，任意 <math>G</math> 上的自同构均诱导其 Abel 化子群上的自同构。由于 Abel 化子群本身是 Abel 群，内自同构平凡，从而得到映射

<math>\operatorname{Out}G\to \operatorname{Aut}G^{\rm ab}</math>.

参见

• 群
• 换位子
• 正规子群
• 可解群
• Galois 理论