算符
在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、运算子[1]，有别于数学的算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。
对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。
对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。
一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。
经典力学[编辑]
在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量<math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)</math>或哈密顿量<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>决定；其中，<math>\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)</math>、<math>\dot{\mathbf{q}}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots,\dot{q}_n)</math>分别是广义坐标、广义速度，<math>\mathbf{p} =(p_1,p_2,p_3,\dots,p_n)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}</math>是共轭动量，<math>t</math>是时间。
假设拉格朗日量<math>\mathcal{L}</math>或哈密顿量<math>\mathcal{H}</math>与某广义坐标<math>q_i</math>无关，则当<math>q_i</math>有所改变时，<math>\mathcal{L}</math>或<math>\mathcal{H}</math>仍旧会保持不变，这意味着粒子的动力行为也会保持不变，对应于<math>q_i</math>的共轭动量<math>p_i</math>守恒。对于广义坐标<math>q_i</math>的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。
特别而言，假设对于某种群<math>G</math>的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设<math>S\in G</math>，
- <math>S\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})=\mathcal{H}(\mathbf{q}',\ \mathbf{p}')=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>。
在这案例里，所有<math>G</math>的元素<math>S</math>都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管<math>S</math>作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。
举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符”<math>T_a</math>能够将粒子从坐标为<math>q_i</math>移动至坐标为<math>q_i+a</math>，以方程表示：
- <math>T_a f(q_i)=f(q_i-a)</math>；
其中，<math>f(q_i)</math>是描述一群粒子的密度函数。
给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管<math>T_a</math>的作用，这物理系统的哈密顿量<math>\mathcal{H}</math>是个不变量，对应于坐标<math>q_i</math>的动量<math>p_i</math>守恒。
经典力学算符表格[编辑]
算符 标记 位置 动量 平移算符 <math>T(\mathbf{\Delta \mathbf{r}})</math> <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} +\Delta \mathbf{r}</math> <math>\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}</math> 时间演化算符 <math>U(\Delta t)</math> <math>\mathbf{r}(t)\rightarrow \mathbf{r}(t+\Delta t)</math> <math>\mathbf{p}(t)\rightarrow \mathbf{p}(t+\Delta t)</math> 旋转算符 <math>R(\mathbf{\hat{n}},\theta)</math> <math>\mathbf{r}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{r}</math> <math>\mathbf{p}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{p}</math> 伽利略变换算符 <math>G(\mathbf{v})</math> <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{v}t</math> <math>\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p} + m\mathbf{v}</math> 宇称算符 <math>P</math> <math>\mathbf{r}\rightarrow -\mathbf{r}</math> <math>\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}</math> 时间反演算符 <math>\Theta</math> <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r}(-t)</math> <math>\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}(-t)</math>
- <math>R(\hat{\mathbf{n}},\theta)</math>是旋转矩阵，<math>\hat{\mathbf{n}}</math>是旋转轴矢量，<math>\theta</math>是旋转角弧。
生成元概念[编辑]
对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为
- <math>T_{\epsilon}\approx I+\epsilon A</math>；
其中，<math>I</math>是“单位算符”──变换群的单位元，<math>\epsilon</math>是微小参数，<math>A</math>是专门用来设定平移变换群的生成元。
为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符<math>T_\epsilon</math>作用于函数<math>f(x)</math>：
- <math>T_\epsilon f(x)=f(x - \epsilon)</math>。
由于<math>\epsilon</math>很微小，可以泰勒近似<math>f(x- \epsilon)</math>为
- <math>T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)</math>。
重写平移算符的方程为
- <math>T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon \mathrm{D}) f(x)</math>；
其中，导数算符<math>\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math>是平移群的生成元。
总结，平移群的生成元是导数算符。
指数映射[编辑]
在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做<math>N</math>次微小平移变换<math>T_{a/N}</math>，来代替一个有限值为<math>a</math>的平移变换<math>T_a</math> ：
- <math>T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)</math>。
现在，让<math>N</math>变得无穷大，则因子<math>a/N</math>趋于无穷小：
- <math>T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N)\mathrm{D})^N f(x)</math>。
这表达式的极限为指数函数：
- <math>T_a f(x)= e^{-a\mathrm{D}} f(x)</math>。
- <math>T_a f(x) = \left(I - a\mathrm{D} + {a^2\mathrm{D}^2\over 2!} - {a^3\mathrm{D}^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)</math>。
这方程的右手边可以重写为
- <math>f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f(x) - {a^3\over 3!} f'(x) + \cdots</math>。
这正是<math>f(x-a)</math>的泰勒级数，也是<math>T_a f(x)</math>的原本表达式结果。
物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。
量子力学[编辑]
在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态矢量设定，态矢量是矢量空间的单位范数矢量。在矢量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态矢量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符[来源请求]。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。[2]: 11–12
物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈概率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[3]: 106–109
量子算符[编辑]
假设，物理量<math>O</math>是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符<math>\hat{O}</math>可能有很多不同的本征值<math>O_i</math>与对应的本征态<math>|e_i\rang</math>，这些本征态<math>|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots</math>，形成了具有正交归一性的基底：[3]: 96–99
- <math>\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}</math>；
其中，<math>\delta_{ij}</math>是克罗内克函数。
假设，某量子系统的量子态为
- <math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang</math>；
其中，<math>c_i=\lang e_i |\psi \rang</math>是复系数，是在<math>|e_i\rang</math>里找到<math>|\psi\rangle</math>的概率幅。[2]: 50
测量这动作将量子态<math>|\psi\rang</math>改变为本征态<math>|e_i\rang</math>的概率为<math>p_i=|c_i|^2</math>，测量结果是本征值<math>O_i</math>的概率也为<math>p_i</math>。
期望值[编辑]
在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。
采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态<math>|\psi\rang</math>，可观察量<math>O</math>的期望值<math>\lang O\rang</math>定义为[2]: 24–25
- <math> \lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang</math>；
其中，<math>\hat{O}</math>是对应于可观察量<math>O</math>的算符。
将算符<math>\hat{O}</math>作用于量子态<math>|\psi\rang</math>，会形成新量子态<math>|\phi\rang</math>：
- <math>|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang</math>。
从左边乘以量子态<math>\lang\psi|</math>，经过一番运算，可以得到
- <math>\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i </math>。
所以，每一个本征值与其概率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量<math>O</math>的期望值：
- <math>\lang O\rang=\sum_i\ p_iO_i </math>。
将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数<math>F(O) </math>的期望值：
- <math> \langle F( O ) \rangle = \lang \psi | F( \hat{O} ) | \psi \rang</math>。
例如，<math>F( \hat{O} )</math>可以是<math> \hat{O}^2 </math>，即重复施加算符<math> \hat{O} </math>两次：
- <math>\lang O^2 \rang= \lang\psi \vert \hat{O}^2 \vert \psi \rang</math>。
对易算符[编辑]
假设两种可观察量<math>A</math>、<math>B</math>的算符分别为<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>，它们的对易算符定义为
- <math>[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}</math>。
对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态<math>|\psi\rang</math>时，会给出
- <math>[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rang=\hat{A}\hat{B}|\psi\rang-\hat{B}\hat{A}|\psi\rang</math>。
假设<math>[\hat{A},\hat{B}]=0</math>，则称这两种可观察量为“相容可观察量”，否则，<math>[\hat{A},\hat{B}]\ne 0</math>，称这两种可观察量为“不相容可观察量”。
假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。[4]
厄米算符[编辑]
每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量<math>O</math>的期望值是实值：
- <math>\lang O\rang=\lang O\rang^*</math>。
对于任意量子态<math>|\psi\rang</math>，这关系都成立：
- <math>\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*</math>。
根据伴随算符的定义，假设<math>\hat{O}^{\dagger}</math>是<math>\hat{O}</math>的伴随算符，则<math>\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang</math>。因此，
- <math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}</math>。
这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。[3]: 96–99
矩阵力学[编辑]
应用基底的完备性，添加单位算符<math>\hat{I}=\sum_{i}|e_i\rang\lang e_i|</math>于算符<math>\hat{O}</math>的两旁，可以得到[2]: 20–23
- <math>\hat{O}=\sum_{i,j}|e_i\rang\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|=\sum_{ij}O_{i,j}|e_i\rang\lang e_j|</math>；
其中，<math>O_{ij}=\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang</math>是求和式内每一个项目的系数。
所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：
- <math>\hat{O}\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix}
O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\ O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\ \end{pmatrix} </math> 。
算符<math>\hat{O}</math>与它的伴随算符<math>\hat{O}^{\dagger}</math>彼此之间的关系为
- <math>\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang=\lang e_j|\hat{O}^{\dagger}|e_i\rang^*</math>。
所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。
用矩阵代数来计算算符<math>\hat{O}</math>怎样作用于量子态<math>|\psi\rang</math>，假设系统因此变换为量子态<math>|\phi\rang</math>：
- <math>|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang</math>。
从左边乘以本征态<math> \lang e_i|</math>，应用基底的完备性，添加单位算符<math>\hat{I}</math>于算符的右边，可以得到
- <math> \lang e_i|\phi\rang= \lang e_i|\hat{O}|\psi\rang=\sum_j \lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|\psi\rang=\sum_{ij}O_{ij}\lang e_j|\psi\rang</math>。
右矢<math>|\phi\rang</math>、<math>|\psi\rang</math>分别用竖矩阵来代表
- <math>|\phi\rang\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix}
\lang e_1|\phi\rang \\ \lang e_2|\phi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\phi\rang \\ \end{pmatrix} </math> 、 <math>|\psi\rang\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} \lang e_1|\psi\rang \\ \lang e_2|\psi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\psi\rang \\ \end{pmatrix} </math> 。
两个竖矩阵彼此之间的关系为
- <math>\begin{pmatrix}
\lang e_1|\phi\rang \\ \lang e_2|\phi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\phi\rang \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\ O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lang e_1|\psi\rang \\ \lang e_2|\psi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\psi\rang \\ \end{pmatrix} </math> 。
假设算符<math>\hat{O}</math>是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。[5]以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值<math>\lambda</math>：
- <math> \det\left ( \hat{O} - \lambda\hat{I} \right ) = 0</math>。
量子算符表格[编辑]
在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位矢量。
算符名称 直角坐标系分量表示 矢量表示 位置算符 <math>\begin{align} \hat{x} = x \\ \hat{y} = y \\ \hat{z} = z \end{align}</math>
<math> \mathbf{\hat{r}} = \mathbf{r} </math> 动量算符 一般状况 <math> \begin{align} \hat{p}_x & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \\ \hat{p}_y & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} \\ \hat{p}_z & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} \end{align}</math>
一般状况 <math> \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla </math>
电磁场 <math> \begin{align} \hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} - qA_x \\ \hat{p}_y = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - qA_y \\ \hat{p}_z = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - qA_z \end{align}</math>
电磁场（<math>\mathbf{A}</math>是磁矢势） <math>\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla - q\mathbf{A} </math>
动能算符 平移运动 <math> \begin{align} \hat{T}_x & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \\ \hat{T}_y & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial y^2} \\ \hat{T}_z & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \\ \end{align} </math>
平移运动 <math> \begin{align} \hat{T} & = \hat{T}_x+ \hat{T}_y+ \hat{T}_z \\
& = \frac{-\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \\\end{align}</math>
电磁场 <math> \begin{align} \hat{T}_x & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial x } - q A_x \right)^2 \\ \hat{T}_y & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - q A_y \right)^2 \\ \hat{T}_z & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - q A_z \right)^2 \end{align}</math>
电磁场（<math>\mathbf{A}</math>是磁矢势） <math> \begin{align} \hat{T} & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} \\
& = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})\cdot(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A}) \\ & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})^2\end{align}</math>
旋转运动（<math>I</math>是转动惯量） <math> \begin{align} \hat{T}_{xx} & = \frac{\hat{J}_x^2}{2I_{xx}} \\ \hat{T}_{yy} & = \frac{\hat{J}_y^2}{2I_{yy}} \\ \hat{T}_{zz} & = \frac{\hat{J}_z^2}{2I_{zz}} \\ \end{align}</math>
旋转运动 <math> \hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{J}}\cdot\mathbf{\hat{J}}}{2I} </math>
势能算符 N/A <math> \hat{V} = V\left ( \mathbf{r}, t \right ) </math> 总能量算符 N/A 含时位势：
<math> \hat{E} = i \hbar \frac{\partial }{\partial t} </math>
不含时位势：
<math> \hat{E} = E </math>哈密顿算符 N/A <math> \begin{align} \hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\ & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} + V \\ & = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V \\ \end{align} </math>
角动量算符 <math>\begin{align} \hat{L}_x & = -i\hbar \left(y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y}\right)\\ \hat{L}_y & = -i\hbar \left(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}\right)\\ \hat{L}_z & = -i\hbar \left(x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x}\right) \end{align}</math>
<math>\mathbf{\hat{L}} = -i\hbar \mathbf{r} \times \nabla </math> 自旋算符 <math>\begin{align}\hat{S}_x = {\hbar \over 2} \sigma_x\\ \hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y\\ \hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z \end{align}</math>
其中，
<math> \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} </math>
<math> \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} </math>
<math> \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} </math>
<math>\mathbf{\hat{S}} = {\hbar \over 2} \boldsymbol{\sigma} </math> 其中，矢量<math>\boldsymbol{\sigma} </math>的分量是泡利矩阵。
总角动量算符 <math>\begin{align} \hat{J}_x & = \hat{L}_x + \hat{S}_x\\ \hat{J}_y & = \hat{L}_y + \hat{S}_y\\ \hat{J}_z & = \hat{L}_z + \hat{S}_z \end{align}</math>
<math>\begin{align} \mathbf{\hat{J}} & = \mathbf{\hat{L}}+\mathbf{\hat{S}} \\ & = -i\hbar \mathbf{r}\times\nabla + \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \end{align}</math>
跃迁矩（电）
（transition moment）<math>\begin{align} \hat{d}_x & = qx\\ \hat{d}_y & = qy\\ \hat{d}_z & = qz \end{align}</math>
<math>\mathbf{\hat{d}} = q \mathbf{r} </math>
范例[编辑]
位置算符[编辑]
只思考一维问题，将位置算符<math>\hat{x}</math>施加于位置本征态<math>|x\rang</math>，可以得到本征值<math>x</math>，即粒子的位置：[6]: 220–221
- <math>\hat{x}|x\rang=x|x\rang</math>。
由于位置基底具有完整性，<math>\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x</math>，任意量子态<math>|\psi\rang</math>可以按着位置本征态形成的基底展开：
- <math>|\psi\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x </math>。
将位置算符<math>\hat{x}</math>施加于量子态<math>|\psi\rang</math>，由于算符<math>\hat{x}</math>只作用于右矢<math> |x\rang</math>，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：
- <math>\hat{x}|\psi\rang=\hat{x}\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \hat{x}|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x =\int_{ - \infty}^{\infty}\ x|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x</math>。
左矢<math>\lang\psi|</math>与这方程的内积为
- <math>\lang\psi|\hat{x}|\psi\rang
=\int_{ - \infty}^{\infty}\ x\lang\psi|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x</math>。
设定量子态<math>|\alpha\rang=\hat{x}|\psi\rang</math>。由于位置基底具有完整性，<math>\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x</math>，量子态<math>\lang\psi|</math>与<math>|\alpha\rang</math>的内积，可以按着位置本征态形成的基底展开为
- <math>\lang\psi|\alpha\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\alpha\rang\mathrm{d}x=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\hat{x}|\psi\rang\mathrm{d}x</math>。
将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式
- <math>\lang x|\hat{x}|\psi\rang=x\lang x|\psi\rang</math>。
设定量子态<math>|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang </math>。量子态<math>|\Psi\rang</math>、<math>|\psi\rang</math>的位置空间表现，即波函数，分别定义为
- <math>\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang</math>、
- <math>\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang</math>。
两个波函数<math>\Psi(x)</math>、<math>\psi(x)</math>之间的关系为
- <math>\Psi(x)=x\psi(x)</math>。
总结，位置算符<math>\hat{x}</math>作用于量子态<math>|\psi\rang</math>的结果<math>|\Psi\rang</math>，表现于位置空间，等价于波函数<math>\psi(x)</math>与<math>x</math>的乘积<math>\Psi(x)</math>。
动量算符[编辑]
表现于位置空间，一维动量算符为
- <math>\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}</math>。
将动量算符<math>\hat{p}</math>施加于量子态<math>|\psi\rang</math>，可以得到类似前一节得到的结果：
- <math>\lang x|\hat{p}|\psi\rang= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang</math>。
应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态<math>|\phi\rang</math>，可以得到更广义的结果：
- <math>\begin{align}\lang \phi|\hat{p}|\psi\rang & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\lang x|\hat{p}|\psi\rang\mathrm{d}x \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \phi^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\psi(x)\mathrm{d}x \\
\end{align}</math> ；
其中，<math>\phi(x)=\lang x|\phi\rang</math>、<math>\psi(x)=\lang x|\psi\rang</math>分别是量子态<math>|\phi\rang</math>、<math>|\psi\rang</math>表现于位置空间的波函数。
假设<math>|\psi\rang</math>是<math>\hat{p}</math>的本征态，本征值为<math>p</math>，则可得到
- <math>\lang x|\hat{p}|\psi\rang=p\lang x|\psi\rang
= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang </math>。
将<math>|\psi\rang</math>改写为本征值为<math>p</math>的本征态<math>|p\rang</math>，方程改写为
- <math> -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|p\rang =p\lang x|p\rang</math>。
这微分方程的解析解为
- <math>\lang x|p\rang=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipx/\hbar}</math>。
所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程，就可以推导求得这出结果。[2]: 50–54
参阅[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ Kittel charles著,洪连辉等译，固体物理学导论，第681页。
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
- ^ 3.0 3.1 3.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
- ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
- ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
- ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台湾: 天下文化书: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2