邏輯與
在邏輯和數學中，邏輯合取或邏輯與或且是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」，其結果為「真」，否則其結果為「假」。[1][2][3]
相關名稱[編輯]
- 基本符號：<math>\land</math>
- 英文名：logical conjunction
- 中文名：邏輯與，合取，交集，按位與，邏輯乘，與門，...
- 命題邏輯中的二元連接詞合取，是一個兩元算子，集合論中的交集算子，二進制中的邏輯乘算子，按位與（Bitwise AND），邏輯門中的「與」門（AND gate），編程語言中的&或and運算符等等。
| 邏輯聯結詞 | ||||||||||||||||||||||||||
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| 相關概念 | ||||||||||||||||||||||||||
| 應用 | ||||||||||||||||||||||||||
基本定義[編輯]
- 邏輯與（logical conjunction）是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。它滿足：當且僅當其兩個變量的真值都為真時，其結果為真。
- 邏輯與<math>\land</math>是個二元算子，運算結果取值為真的條件是，當且僅當兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句，沒有第三種取值，或說值域為{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的語句是猜想；既真又假，既不真又不假的語句是悖論。
真值表定義[編輯]
A與B的真值表（也寫作A <math>\land</math> B（邏輯學），A && B（計算機科學），或A<math>\cdot</math>B（電子學））。
<math>~A \land B</math> 的真值表:
| 輸入 | 輸出 | |
| <math> A</math> | <math>B</math> | <math> A \land B</math> |
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
推理規則[編輯]
合成與分解規則[編輯]
合取引入規則[編輯]
合取引入規則（∧+）（conjunction introduction rule）或聯言推理的合成式，是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。這個論證形式有兩個前提，A和B，可以直觀地推出他們的合取。
其形式如下：
- A,
- B.
- 因此A且B.
形式化為：
- <math>\mathbf{A}, </math>
- <math> \mathbf{B} </math>
- <math> \vdash A \land B </math>
下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證：
- 小橘子是正妹。
- 小橘子是車神。
- 因此小橘子是正妹也是車神。
另一個例子如下：
- 1小於2
- 6大於5
- 因此，1小於2，而且6大於5。
還有一個例子如下：
- 有一些PSPACE問題不是NL問題
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
合取消去規則[編輯]
合取消去規則（∧-）（Conjunction elimination rule）或聯言推理的分解式，是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。
其形式如下：
- A且B。
- 因此A。
...或者，
- A且B.
- 因此B.
用邏輯運算符描述為，
形式化為:
- <math> A \land B </math>
- <math> \vdash A </math>
或者,
- <math> A \land B </math>
- <math> \vdash B </math>
例如:
或者
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
另一個例子如下：
- 1小於2，而且6大於5。
- 因此1小於2。
或者
- 1小於2，而且6大於5。
- 因此6大於5。
還有一個例子如下：
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是正妹。
或者
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是車神。
性質[編輯]
邏輯與滿足以下性質：
- 結合律: <math>A \land (B \land C) \equiv (A \land B) \land C </math>
- 交換律: <math>A \land B \equiv B \land A </math>
- 分配律: <math>(A \land (B \lor C)) \equiv ((A \land B) \lor (A \land C))</math>
- <math>(A \lor (B \land C)) \equiv ((A \lor B) \land (A \lor C))</math>
- 冪等律: <math>A \land A \equiv A </math>
- 單調性: <math>(A \rightarrow B) \rightarrow ((C \land A) \rightarrow (C \land B))</math>
- <math>(A \rightarrow B) \rightarrow ((A \land C) \rightarrow (B \land C))</math>
- 保真性: 所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。
- 保假性: 所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。
如果用二進制來表達真（1）和假（0），邏輯與運算與算術乘法運算一致。
計算機科學中的運用[編輯]
位運算[編輯]
邏輯與常在位運算中使用，比如：
- 0 and 0 = 0
- 0 and 1 = 0
- 1 and 0 = 0
- 1 and 1 = 1
- 1100 and 1010 = 1000
編程中的使用[編輯]
在高等計算機編程中，邏輯合取「與」通常由內置算符and或&號來表達。很多編程語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。
布爾「與」也在SQL的運算符中使用。有些數據庫區分大小寫，需要"AND"符號。
在計算機科學中，AND運算符可以用來構造位屏蔽，以選擇二進制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用來取二進制序列的第五位。
交集運算[編輯]
集合論中的交運算是用邏輯與來定義的：<math>x \in A \cap B</math> 當且僅當 <math>(x \in A) \land (x \in B)</math>。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質，諸如結合律，交換律，分配律，及德·摩根定律。
註釋[編輯]
- ↑ Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. （原始內容存檔於2021-05-13） （en-US）.
- ↑ Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. （原始內容存檔於2021-04-21）.
- ↑ 2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. （原始內容存檔於2020-11-05） （English）.
參見[編輯]
相關網頁[編輯]
- Wolfram Mathematics Conjunction （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- All Math Words Encyclopedia Conjunction （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- Conjunction, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English）
- Property and truth table of AND propositions. （原始內容存檔於May 6, 2017）.
