交运算
在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。
通常把 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交指示为 <math>x \land y</math>。
偏序定义[编辑]
设 A 是带有偏序 <math>\leq</math> 的一个集合，并设 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是 A 中的两个元素。A 的一个元素 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:
- 1. <math>z \leq x</math> 且 <math>z \leq y</math> (就是说，<math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界)；
- 2. 对于 A 中的任何 <math>w</math>，使得 <math>w \leq x</math> 且 <math>w \leq y</math>，有着 <math>w \leq z</math> (就是说，<math>z</math> 大于任何其他 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界)。
如果有 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交，则它的确是唯一的，因为如果 <math>z</math> 和 <math>z'</math> 都是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的最大下界，则 <math>z \leq z' \leq z</math>，因而 <math>z = z'\,</math>。如果交确实存在，它被指示为 <math>x \land y</math>。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math>
- a. <math>x \land y = y \land x</math> (交换律)，
- b. <math>x \land (y \land z) =(x \land y) \land z</math> (结合律)，
- c. <math>x \land x = x</math> (幂等律)。
泛代数定义[编辑]
通过定义，在集合 A上的 二元运算 <math>\land</math> 是交，如果它满足上面的三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,<math>\land</math>) 就是交半格。此外，我们可以定义在 A 上二元关系 <math>\leq</math>，通过声称 <math>x \leq y</math> 当且仅当 <math>x \land y = x</math>。实际上，这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math> 有
- <math>x \leq x</math>，因为 <math>x \land x = x</math>，通过公理 c；
- 如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq x</math> 则 <math>x = x \land y = y \land x = y</math>，通过公理 a；
- 如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq z</math> 则 <math>x \leq z</math>，因为 <math> x \land z = (x \land y) \land z = x \land (y \land z) = x \land y = x</math>，通过公理 b 。
两个定义的等价性[编辑]
如果 (A,<math>\leq</math>) 是偏序集合，使得对于每对 A 中的元素都有交，则确实有 <math>x \land y = x</math> 当且仅当 <math>x \leq y</math>，因为在后者情况下 <math>x</math> 确实是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界，并且明显的 <math>x</math> 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。
反过来，如果 (A,<math>\land</math>) 是交半格，并且偏序 <math>\leq</math> 按泛代数方式定义，对于A 中某些元素 <math>x</math> 和 <math>y</math> 有 <math>z = x \land y</math>，则 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 关于 <math>\leq</math> 的最大下界，因为 <math>z \land x = x \land z = (x \land x) \land y = z \;\Rightarrow\; z \leq x</math>，类似的 <math>z \leq y</math>，并且如果 <math>w</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的另一个下界，则 <math>w \land x = w \land y = w</math>，从而 <math>w \land z = w \land (x \land y) = (w \land x) \land y = w \land y = w</math>。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。
换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。
一般子集的交[编辑]
如果 (A,<math>\land</math>) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下，(A,<math>\leq</math>) 是完全格；详情参见完全性 (序理论)。