特殊酉群

在数学中，<math>n</math> 阶特殊酉群（英语：special unitary group），记作 <math>\operatorname{SU}(n)</math>，是行列式为 1 的 <math>n\times n</math> 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 <math>n\times n</math> 酉矩阵组成的酉群 <math>\operatorname{U}(n)</math> 的一个子群，酉群又是一般线性群 <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C}</math>) 的一个子群。

群 <math>\operatorname{SU}(n)</math> 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 在电弱相互作用与 <math>\operatorname{SU}(3)</math> 在量子色动力学中。

最简单的情形 <math>\operatorname{SU}(1)</math>，是平凡群，只有一个元素。群 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 同构于范数为 <math>1</math> 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 到旋转群 <math>\operatorname{SO}(3)</math>，其核为 <math>\{+I, -I\}</math>。

性质

特殊酉群 SU(n) 是一个 n²-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Z_n。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z₂，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n² 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

<math>\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}</math>

另外，算子

<math>\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}</math>

满足

<math>\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0</math>

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n²-1。

生成元

一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

• <math>\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,</math>

以及

• <math> T_a = T_a^\dagger .\,</math>

基本表示

在定义或基本表示中，由 <math>n\times n</math> 矩阵表示的生成元是：

• <math>T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,</math>

这里系数 <math>f</math> 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 <math>d</math> 对所有指标都是对称的。

从而

• <math>\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,</math>
• <math>\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,</math>

我们也有

• <math>\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,</math>

作为一个正规化约定。

伴随表示

在伴随表示中，生成元表示由 <math>(n^2-1) \times (n^2-1)</math> 矩阵表示，其元素由结构常数定义：

• <math> (T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,</math>

SU(2)

<math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math> 一个一般矩阵元素形如

<math>U =

\begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}</math>

这里 <math>\alpha,\beta\in\mathbb{C}</math> 使得 <math>|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>。我们考虑如下映射 <math>\varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math>，（这里 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 表示 2×2 复矩阵集合），定义为

<math>

\varphi(\alpha,\beta) = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}. </math>

考虑到 <math>\mathbb{C}^2</math> 微分同胚于 <math>\mathbb{R}^4</math> 和 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 同胚于 <math>\mathbb{R}^8</math>，我们可看到 <math>\varphi</math> 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 <math>\varphi</math> 限制在三维球面上，记作 <math>S^3</math>，我们可发现这是三维球面到 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 <math>\varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math>，作为一个流形微分同胚于 <math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math>，使 <math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math> 成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 <math>\mathfrak{su}_2(\mathbb{C})</math>，一个一般元素形如

<math>

U' = \begin{pmatrix} ix & -\overline{\beta}\\ \beta & -ix \end{pmatrix} </math>

这里 <math>x \in \mathbb{R}</math> 以及 <math>\beta \in \mathbb{C}</math>。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

<math>

u_1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad u_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad u_3 = \begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix} </math>

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 <math>u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1</math> 和 <math>u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3</math>。从而交换子括号由

<math>

[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1. </math>

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，<math>u_1 = i\sigma_1</math>, <math>u_2 = -i\sigma_2</math> 及 <math>u_3 = i\sigma_3</math>。

SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

<math>T_a = \frac{\lambda_a}\sqrt{2} .\,</math>

这里 <math>\lambda \,</math> 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

• <math>\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,</math>

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

<math>f^{123} = 1 \,</math>

<math>f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,</math>

<math>f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,</math>

d 的取值：

<math>d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,</math>

<math>d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,</math>

<math>d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,</math>

李代数

<math>\mathrm{SU}(n)</math> 对应的李代数记作 <math>\mathfrak{su}(n)</math>。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 <math>n \times n</math> 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 <math>i</math>，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 <math>\mathfrak{su}(n)</math> 是 <math>\mathbb{R}</math> 上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 在 <math>\mathbb{R}</math> 上的一组基：

<math>i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}</math>

（这里 <math>i</math> 是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 <math>i</math>）一起

<math> i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}</math>

它们也是 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 <math>\mathrm{Cl}_3</math>，而在交换子括号下生成李代数 <math>\mathfrak{su}(2)</math>。

回到一般的 <math>\mathrm{SU}(n)</math>：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 <math>n \times n</math> 矩阵子空间组成一个 <math>n - 1</math> 维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 <math>n \times n</math> 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 <math>\mathrm{h}</math> 只是 <math>n - 1</math> 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 <math>i</math> 个基向量是在第 <math>i</math> 个对角元素为 <math>1</math> 而在其它处为零的矩阵。则权由 <math>n</math> 个坐标给出，而且在所有 <math>n</math> 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 <math>\mathrm{SU}(n)</math> 的秩是 <math>n - 1</math>，它的邓肯图由 <math>A_{n - 1}</math> 给出，有 <math>n - 1</math> 个顶点的链。

它的根系由 <math>n(n - 1)</math> 个根组成，生成一个 <math>n - 1</math> 欧几里得空间。这里，我们使用 <math>n</math> 冗余坐标而不是 <math>n - 1</math> 坐标来强调根系的对称（<math>n</math> 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 <math>n - 1</math> 维向量空间嵌入 <math>n</math>-维中。则根由所有 <math>n(n - 1)</math> 置换 <math>(1, -1, 0, \dots, 0)</math>。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

<math>(1, -1, 0, \dots, 0)</math>,

<math>(0, 1, -1, \dots, 0)</math>,

…,

<math>(0, 0, 0, \dots, 1, -1)</math>.

它的嘉当矩阵是

<math> \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix} </math>.

它的外尔群或考克斯特群是对称群 <math>S_n</math>，<math>(n - 1)</math>-单形的对称群。

广义特殊酉群

对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个酉群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

<math>M \in SU(p,q,R)</math>

满足

<math>M^{*} A M = A \,</math>

<math>\det M = 1. \,</math>

经常可以见到记号 <math>SU_{p,q}</math> 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是

<math>

 A
 =
 \begin{bmatrix}
   0 & 0 & i \\
   0 & I_{n-2} & 0 \\
   -i & 0 & 0
 \end{bmatrix}.

</math> 对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 <math>HC^2</math> 上作用的基本域，参见 [1]。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

重要子群

在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：

<math>

SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1). </math> 为了完整性，还有正交与辛子群：

<math>

SU(n) \supset O(n) </math>

<math>

SU(2n) \supset USp(2n). </math> 因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：

<math>

SO(2n) \supset SU(n) </math>

<math>

USp(2n) \supset SU(n) </math>

<math>

Spin(4) = SU(2) \times SU(2) </math>（参见自旋群）

<math>

E_6 \supset SU(6) </math>

<math>

E_7 \supset SU(8) </math>

<math>

G_2 \supset SU(3) </math>（关于 E₆, E₇ 与 G₂ 参见单李群）。 有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

相关条目

• SU(2)的表示论
• 射影特殊酉群 PSU(n)
• 埃尔米特矩阵
• 辛矩阵
• 酉群
• 酉算子
• 矩阵分解

参考文献

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 
• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （页面存档备份，存于互联网档案馆）