复化

数学中，实数域上的向量空间V的复化是在复数域上对应的向量空间V^C，就是说它有与V相同的维数，V在实数域上的基可以作为V^C在复数域上的基。

例如设V包含m×n实矩阵，则V^C包含m×n复矩阵。

不依赖于基的定义是取V和复数在实域上的张量积：

<math>V^C=V\otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math>。

复向量空间<math>V^C</math>有额外结构：典范复共轭运算<math>\phi\ </math>。因为<math>V</math>以<math>v\mapsto v\otimes 1</math>包含在<math>V^C</math>内，复共轭运算可定义为<math>\phi(v\otimes z) = v\otimes z^*</math>。这运算常记作<math>w^*</math>或<math>\overline{w}</math>。

相反地，给出复向量空间<math>W</math>，并有复共轭运算<math>\phi\ </math>，<math>W</math>作为复向量空间同构于<math>W</math>的实子空间<math> S = \{w\in W : \phi(w) = w\} </math>的复化<math>S^C</math>。也就是说，所有带有复共轭运算的复向量空间都是实向量空间的复化。

例如<math>W=\mathbb{C}</math>有标准共轭运算<math>\phi(z) = z^*\ </math>，那么<math>S=\mathbb{R}</math>。