阻尼
阻尼（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用（如流体阻力、摩擦力等）和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。
在实际振动中，由于摩擦力总是存在的，所以振动系统最初所获得的能量，在振动过程中因阻力不断对系统做负功，使得系统的能量不断减少，振动的强度逐渐减弱，振幅也就越来越小，以至于最后的停止振动，像这样的因系统的力学能，由于摩擦及转化成内能逐渐减少，振幅随时间而减弱振动，称为阻尼振动。
- 当阻尼较强时，阻尼振子几乎没有振动，振幅逐渐减小，达到稳定平衡，称为过阻尼。
- 当阻尼较弱时，阻尼振子必须缓慢的经由多次振动逐渐把振幅减小，最后回到平衡位置，因此达成稳定平衡的时间较久，称为欠阻尼。
- 另一种情形是阻尼振子以最平稳的速度，最短的时间达到稳定平衡，称为临界阻尼。
词源[编辑]
“阻尼”源自英语“damping”，其动词形式“damp”意为阻抑、减弱。1933年8月21日至9月2日召开的中央研究院物理研究所第一次名词审查会议上，名词审查委员会主任委员杨肇燫以“尼”字有逐步减阻之义[1]，提出将该词译作“阻尼”而获赞同，自此被采纳而定案。[2][3]
不同于汉语中“尼”经常作为音译语素的情况（如“比丘尼”“尼龙”“突尼斯”），“阻尼”是用两个同义语素对“damping”进行的意译。
阻尼模型[编辑]
在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性（或黏性）阻尼模型，是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是，自然界中还存在很多完全不满足上述模型的阻尼机制，譬如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子，其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关，而与速度无关。
除简单的力学振动阻尼外，阻尼的具体形式还包括电磁阻尼、介质阻尼、结构阻尼等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的数学模型，但实际系统中阻尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例，作一简单的说明。
粘性阻尼可表示为以下式子：
- <math>
\mathbf{F} = -c \mathbf{v} </math>
在日常生活中阻尼的例子随处可见，一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下，用手拨一下吉他的弦后声音会越来越小，等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之一。
例子：弹簧阻尼器振子[编辑]
理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有：
- 弹性力（k 为弹簧的劲度系数，x 为振子偏离平衡位置的位移）：<math>F_\mathrm{s} = -kx</math>
- 阻尼力（c 为阻尼系数，v 为振子速度）：<math>F_\mathrm{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}</math>
假设振子不再受到其他外力的作用，于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动方程：
- <math>
\sum F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2} </math>
其中a 为加速度。
运动微分方程[编辑]
上面得到的系统振动方程可写成如下形式，问题归结为求解位移x 关于时间t 函数的二阶常微分方程：
- <math>m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0</math>
将方程改写成下面的形式：
- <math>\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.</math>
然后为求解以上的方程，定义两个新参量：
- <math>\omega_n = \sqrt{ k \over m }</math>
- <math>\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.</math>
上面定义的第一个参量，ωn，称为系统的（无阻尼状态下的）固有频率。 第二个参量，ζ，称为阻尼比。根据定义，固有频率具有角速度的量纲，而阻尼比为无量纲参量。
微分方程化为：
- <math>
\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = 0. </math>
系统行为[编辑]
系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率ωn和阻尼比ζ——所决定。特别地，上小节最后关于<math> \gamma </math>的二次方程是具有一对互异实数根、一对重实数根还是一对共轭复数根，决定了系统的行为。
临界阻尼 Critical damping[编辑]
当<math>\zeta=1 </math>时，<math>\gamma \ </math>的解为一对重实根，此时系统的阻尼形式称为临界阻尼。现实生活中，许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转弹簧的同时，都相应地装有阻尼铰链，使得门的阻尼接近临界阻尼，这样人们关门或门被风吹动时就不会造成太大的声响。
过阻尼 Over damping[编辑]
当<math>\zeta > 1</math>时，<math>\gamma \ </math>的解为一对互异实根，此时系统的阻尼形式称为过阻尼。当自动门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时，自动关门需要更长的时间。如记忆枕。
欠阻尼 Under damping[编辑]
当<math> 0 < \zeta< 1</math>时，<math>\gamma \ </math>的解为一对共轭虚根，此时系统的阻尼形式称为欠阻尼。在欠阻尼的情况下，系统将以圆频率<math> \omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}</math>相对平衡位置作往复振动。
方程的解[编辑]
- 对于欠阻尼体系，运动方程的解可写成：
- <math>
x (t) \ = \ A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d} t + \varphi) </math>
其中
- <math>
\omega_\mathrm{d} = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2 } </math>
是有阻尼作用下系统的固有频率，A 和φ 由系统的初始条件（包括振子的初始位置和初始速度）所决定。该振动解代表的是一种振幅按指数规律衰减的简谐振动，称为衰减振动（见上图中 <math>\varsigma < 1</math> 的位移-时间曲线所示）。
- 对于临界阻尼体系，运动方程的解具有形式
- <math>
x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t} </math>
其中A 和B 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周期运动。
- 对于过阻尼体系，定义
- <math>\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2 - 1}</math>
则运动微分方程的通解可以写为：
- <math>
x(t) = A e^{ \lambda_1 t} + B e^{ \lambda_2 t} </math> 其中A 和B 同样取决于初始条件，λ1与λ2为特征方程的两个相异实根。该振动解表征的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以看出，过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。对于临界阻尼状态，振子可能越过平衡位置至多一次，而过阻尼状态下振子不会越过平衡位置。
相关条目[编辑]
相关书籍[编辑]
- 倪振华编著，《振动力学》，西安交通大学出版社，西安，1990，ISBN 7-5605-0212-1
- R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津著，王光远等译，《结构动力学》，科学出版社，北京，1981）
外部链接[编辑]
- 阻尼谐振子 Java 模拟 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 阻尼正比于速度或固体接触面摩擦