虚功

File:Virtual Displacement 03.svg

粒子的运动轨道与虚轨道分别为<math>x (t)</math>与<math>x'(t)</math>。在位置<math>x_1</math>、时间<math>t_1</math>，虚位移为<math>\delta x</math>。两种轨道的初始位置与终止位置分别为<math>x_0</math>与<math>x_2</math>。

在分析力学里，施加于某物体的作用力，由于给定的虚位移，所做的机械功，称为虚功（英语：virtual work）。以方程表达，虚功<math>\delta W</math>是

<math>\delta W= \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}</math>；

其中，<math>\mathbf{F}</math>是作用力，<math>\delta \mathbf{r}</math>是虚位移。

在这篇文章里，位移指的是平移运动所造成的位移或旋转运动所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虚位移不是实际的位移，而是一种虚构的、理论上的位移，是一种只涉及位置，不涉及时间的变化。每一个虚位移既是自变量（independent variable），又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性，在数学关系式里，能够推导出许多重要的结果。例如，思考下述矩阵方程：

<math>\mathbf{R}^{T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{T} \mathbf{B} \mathbf{q}</math>；

其中，<math>\mathbf{R},\ \mathbf{r},\ \mathbf{q}</math>都是矢量，<math>\mathbf{B}</math>是方块矩阵。

假若，<math>\mathbf{R}</math>是个任意非零矢量，则可以将任意项目<math>\mathbf{R}</math>从方程中除去，得到<math> \mathbf{r} = \mathbf{B} \mathbf{q} </math>。

虚功原理

虚功原理阐明，一个物理系统处于静态平衡（static equilibrium），当且仅当，所有施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所做的虚功的总和等于零。以方程表达，

<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

考虑一个由一群质点组成，呈静态平衡的物理系统，其内部任意一个质点<math>P_i</math>可能感受到很多个作用力。这些作用力的总和<math>\mathbf {F}_{i}^{(T)}</math>等于零：

<math>\mathbf {F}_{i}^{(T)} = 0</math>。

给予这质点<math>P_i</math> 虚位移<math>\delta \mathbf r_i</math>，则合力<math>\mathbf {F}_{i}^{(T)}</math>所做的虚功<math>\delta W_i</math>为零：

<math>\delta W_i = \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

总合这系统内做于每一个质点的虚功，其答案也是零：

<math>\delta W = \sum_{i}\ \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

将合力细分为外力<math>\mathbf F_i</math>与约束力<math>\mathbf C_i</math>：

<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

假设所有约束力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零：

<math>\sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>，

则约束力项目可以从方程中除去，从而得到虚功原理的方程：

<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

注意到这推论里的约束力假设。在这里，约束力就是牛顿第三定律的反作用力。因此，可以称此假设为反作用力的虚功假设：所有反作用力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零。这是分析力学额外设立的假设，无法从牛顿运动定律推导出来。

在动力学里，虚功原理会被推广为达朗贝尔原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。更详尽细节，请参阅相关条目。

适用案例

在此特别列出几个案例，展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零：

• 刚体的约束条件是一种完整约束，以方程表达，<math>(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=L_{ij}^2</math>；其中，刚体内部的质点<math>P_i</math>、<math>P_j</math>的位置分别为<math>\mathbf{r}_i</math>、<math>\mathbf{r}_j</math>，它们之间的距离<math>L_{ij}</math>是个常数。所以，两个质点的虚位移<math>\delta\mathbf{r}_i</math>、<math>\delta\mathbf{r}_j</math>之间的关系为

<math>\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=2(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0</math>。

在这里，有两种可能的状况：

1、<math>\delta\mathbf{r}_i=\delta\mathbf{r}_j</math>：

对于这状况，由于<math>\mathbf{C}_{ji}= - \mathbf{C}_{ij}</math>，两个作用力所做的虚功相互抵销，也就是说，

<math>\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=0</math>，

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

2、<math>(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)\perp(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)</math> :

由于<math>\mathbf{C}_{ij}\ \|\ \mathbf{C}_{ji}\ \|\ (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)</math>，

<math>\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i - \mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot (\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0</math>。

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

所以，在刚体内，质点与质点之间的约束力所作的虚功的总合是零。

• 思考置放于平滑地面上的一块木块。因为木块的重量，而产生的反作用力，是地面施加于木块的一种约束力。注意到对于这案例，符合约束条件的虚位移必须与地面平行，所以，地面施加的约束力垂直于虚位移，它所作的虚功等于零。。

在位形空间的意义

将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力<math>\mathcal{F}_i</math>和广义坐标<math>q_i</math>表达，

<math>\delta W = \sum_{i} \mathcal{F}_i \delta q_i = 0</math>。

设定一个<math>N</math>维位形空间，其坐标为<math>(q_1,q_2,\dots,q_N)</math>，其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里，广义力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}=(F_1,F_2,\dots,F_N)</math>垂直于符合约束条件的虚位移<math>\delta\mathbf{q}=(\delta q_1,\delta q_2,\dots,\delta q_N)</math>。

假设，这物理系统没有任何约束条件，则虚位移可以是任意矢量。但是，广义力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>不可能垂直于<math>N</math>维位形空间里的每一个矢量，所以，广义力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>必须等于零。

假设，这物理系统有<math>L</math>个约束条件，则自由度为<math>N - L</math>，位形点必需处于位形空间的某<math>N - L</math>维子空间，而广义力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>必须垂直于这子空间，因此必需使用<math>N - L</math>个运动方程来表达这物理系统。

保守系统

假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是标量的广义位势函数<math>V(q_1,q_2,\dots,q_N)</math>的对于其对应的广义坐标的负偏导数：

<math>F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_i}</math>。

虚功与广义位势的关系为

<math>\delta W = \sum_{i} - \frac{\partial V}{\partial q_i} \delta q_i = - \delta V=0</math>。

由于位势的变分<math>\delta V</math>等于零，一个静态平衡系统的位势<math>V</math>乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这系统处于稳定状态，则位势<math>V</math>必须是个局域极小值。

参见

• 柔度法
• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学

外部链接

• 虚功原理的应用实例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）