力偶
力偶（英语：couple）是由作用于同一刚体的两个大小相等、方向相反且不在同一直线上的平行力组成的力系。亦即在经典力学中，力偶是一种只有合力矩，而不产生合力的作用力系统[1]。
一对力偶作用于刚体时，力偶能够改变其旋转运动（转动），同时保持其平移运动（平动）不变。力偶不会给予刚体质心任何加速度。
力偶所产生的力矩称为力偶矩，它与力矩不同，改变力矩的参考点并不影响力偶矩的大小[2]
简单力偶[编辑]
最简单的力偶是由两个大小相同、方向相反、作用线相异的作用力组成，又称为“简单力偶”[1]。与作用力同线的直线称为这作用力的“作用线”。作用于物体，力偶会给与物体一种旋转效应或力偶矩。采用国际单位制，力偶的单位是牛顿<math>\cdot</math>米。
假设施加于一物体的两个作用线相异的作用力分别为 <math>\mathbf{F}\,</math> 、<math> - \mathbf{F}\,</math> ，则其力偶矩 <math>\tau\,</math> 的大小，以方程表达为
- <math>\tau = F d \,</math> ；
其中，<math>d\,</math> 是两个作用力之间的垂直距离。
力偶矩 <math>\boldsymbol{\tau}\,</math> 的方向垂直于包含这力偶的平面。
假设，两个大小相等，方向相反的作用力 <math>\mathbf{F}_1\,</math> 与 <math>\mathbf{F}_2\,</math> ， 分别施加于一个物体的位置 <math>\mathbf{r}_1\,</math> 与 <math>\mathbf{r}_2\,</math> ，则合力等于零：
- <math>\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2=0\,</math> ，
而所产生的力矩 <math>\mathbf{M}\,</math> 以方程表达为
- <math>\mathbf{M}=\mathbf{r}_{1} \times\mathbf{F}_1+\mathbf{r}_{2} \times\mathbf{F}_2 =\mathbf{r}_{12} \times\mathbf{F}_1 \,</math> ；
其中，<math>\mathbf{r}_{12}=\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2\,</math> 是两个位置 <math>\mathbf{r}_1\,</math> 与 <math>\mathbf{r}_2\,</math> 之间的相对位置。
特别注意，由于 <math>\mathbf{r}_{12}\,</math> 是相对位置，不随参考点的改变而改变，从物体上任何参考点观测的力偶矩 <math>\mathbf{M}\,</math> 都相等。因此，力偶矩是个自由矢量，作用于物体的任何一点，效果都一样。
力偶矩与参考点无关[编辑]
在计算作用力的力矩时，必须先选择某参考点P，然后才能计算作用力对于参考点P的力矩。通常，若参考点P的位置改变，力矩也会改变。但是，力偶的力偶矩独立于参考点P，对于任意参考点，力偶矩都相同。换句话说，力偶矩是一个自由矢量。这理论称为伐里农第二力矩定理（Varignon's Second Moment Theorem）[3]。
证明：
假设分别施加于位置 <math>\mathbf{r}_1\,</math> 、<math>\mathbf{r}_2\,</math> 的作用力 <math>\mathbf{F}_1\,</math> 、<math>\mathbf{F}_2\,</math> ，共同形成一个力偶，则这两个作用力的合力为
- <math>\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2=0\,</math> ，
这两个作用力对于原点O的力矩 <math>\mathbf{M}_O\,</math> 为
- <math>\mathbf{M}_O= \mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2\,</math> 。
设定参考点P的位置为 <math>\mathbf{r}\,</math> 。作用力 <math>\mathbf{F}_1\,</math> 、<math>\mathbf{F}_2\,</math> 对于点P的力矩 <math>\mathbf{M}_P\,</math> 为
- <math>\mathbf{M}_P= (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r})\times \mathbf{F}_1 + (\mathbf{r}_2 - \mathbf{r})\times \mathbf{F}_2= \mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2 - \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2)=\mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2\,</math> 。
所以，力偶矩与参考点无关：
- <math>\mathbf{M}_P=\mathbf{M}_O\,</math> 。
应用[编辑]
在机械工程学里，力偶是个很有用的概念。以下列出几个实例：
- 当用手扭转螺丝起子时，螺丝起子会感受到力偶。
- 当用螺丝起子扭转螺丝钉时，螺丝钉会感受到力偶。
- 一个在水里旋转的螺旋桨推进器，会感受到由水阻力产生的力偶。
- 在一个均匀电场里，电偶极子会感受到电场的力偶。
- 航天器上的反应控制系统。
- 手在方向盘上施加的力。