无量纲量
（重定向自无量纲）
在量纲分析中，无量纲量[1]（dimensionless quantity）又称无因次量、量纲为一的量[2][3]（quantity of dimension one）[注 1]，指的是没有量纲的量。它是个单纯的数字，量纲为1[4]。必须注意的是：无量纲量虽然没有量纲，但是可能被赋予一个习惯性计数单位，但绝对不会有国际单位制的基本单位。例如：摩尔当量是无量纲量，在习惯上用 Eq 作计数单位。
无量纲量在数学、物理学、工程学、经济学以及日常生活中（如数数）被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。与之相对的是有量纲量，拥有诸如长度、面积、时间等单位。
无量纲量常写作两个有量纲量之积或比，但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如，应变是量度形变的量，定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L（长度），因此相除后得出的量是没有量纲的。
属性[编辑]
- 虽然无量纲量本身没有量纲，但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位（kg/kg或mol/mol），有时可以帮助表达所测量的数值（如质量百分浓度或摩尔分数等）。某些量还可以表示为不同的单位之比，但这两个单位的量纲相同（如光年除以米）。这种做法可以用于计算图表中的斜率，或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲，而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10−6，百万分比；ppb=10−9，十亿分比；ppt=10−12，兆分比（万亿分比）以及角单位（度、弧度、百分度）等等。
- 两个具有相同量纲之比是没有量纲的，而且无论用什么单位计算，该量还是不变的。例如，如果物体A对物体B施大小为F的作用力，那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1（见牛顿第三定律），而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设：物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1，而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话，这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制，而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础，其表述为：所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合（加、减、乘、除等等）写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话，那么白金汉π定理就不成立了。
白金汉π定理[编辑]
白金汉π定理的另一项推论为，如果n个变数之间有某种函数关系，而这些变数中有k个独立的量纲，则可以产生p = n − k个独立的无量纲量。
例子[编辑]
某磁力搅拌器的电功率是被搅拌液体的密度和黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量
这n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成：
- 长度：L (m)
- 时间：T (s)
- 质量：M (kg)
根据该定理，通过组合这n = 5个变量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为：
例子[编辑]
- 在10个苹果中，有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%，这是个无量纲量。
- 角：角的定义为，以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得，因此是个无量纲量。当所用的（无量纲）单位为弧度时，那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时，“另一长度”就是圆周长的360分之1。
- 圆周率是个无量纲量，定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用什么单位量度这些长度时（厘米、英里、光年等等）都会是相同的，只要周长和直径以同样的单位量度。
无量纲量列表[编辑]
下表中所有的量均为无量纲量：
| 名称 | 标准符号 | 定义 | 应用范畴 |
|---|---|---|---|
| 阿贝数 | V | <math>V = \frac{ n_d - 1 }{ n_F - n_C }</math> | 光学（光的色散） |
| 活度系数 | γ | <math> \gamma= \frac 第一局后手掷壶 </math> | 化学（活跃分子或原子占总数之比） |
| 反照率 | <math>\alpha</math> | <math>{\alpha}= (1-D) \bar \alpha(\theta_i) + D \bar{ \bar \alpha}</math> | 气候学、天文学 |
| 劳仑兹因子 | <math>\gamma</math> | <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} } </math> | 相对论 |
| 阿基米德数 | Ar | <math> Ar = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2}</math> | 密度差造成的流体运动 |
| 阿伦尼乌斯数 | <math>\alpha</math> | 活化能与热能之比[5] | |
| 相对原子质量 | M | 化学 | |
| 伯格诺德数 | Ba | <math>Ba = \frac{\rho d^2 \lambda^{1/2} \gamma}{\mu}</math> | 固体块的流动（如米粒或沙子）[6] |
| 比赞数 （热力学） |
Be | <math>Be = \frac {\dot S'_{gen, \Delta T}} {\dot S'_{gen, \Delta T}+ \dot S'_{gen, \Delta p}}</math> | 热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比[7] |
| 比赞数 （流体力学） |
Be | <math>Be = \frac{\Delta P . L^2} {\mu \alpha}</math> | 沿着通道的压力差[8] |
| 宾汉数 | Bm | <math>Bm = \frac{ \tau_yL }{ \mu V }</math> | 屈服应力与黏滞应力之比[5] |
| 毕奥数 | Bi | <math>Bi = \frac{h L_C}{\ k_b}</math> | 固体的表面传导率与体积传导率之比 |
| 布莱克数 | Bl或B | <math>B = \frac{V \rho}{\mu ( 1-\epsilon) D}</math> | 流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性 |
| 博登斯坦数 | Bo | <math>Bo = Re\cdot Sc = vL/\mathcal{D}</math> | 停留时间的分布 |
| 邦德数 | Bo | <math>Bo = \frac{\rho a L^2}{\gamma}</math> | 由浮力推动的毛细作用[9] |
| 布林克曼数 | Br | <math> Br = \frac {\mu U^2}{\kappa(T_w-T_0)}</math> | 从容器壁到黏性流体的热传导 |
| Brownell-Katz数 | 毛细管数和邦德数的组合 | ||
| 毛细管数 | Ca | 受表面张力影响的流体流动 | |
| 钱德拉塞卡数 | <math>\ Q</math> | <math> {Q}\ =\ \frac{{B_0}^2 d^2}{\mu_0 \rho \nu \lambda} </math> | 磁对流，用以表达洛伦兹力与黏度之比 |
| 静摩擦系数 | <math>\mu_s</math> | 物体间的静摩擦 | |
| 动摩擦系数 | <math>\mu_k</math> | 物体互相滑动时的摩擦 | |
| 柯尔伯恩j因数 | 热传导的无量纲系数 | ||
| 库朗数 | <math>\nu</math> | 双曲型偏微分方程之解[10] | |
| 达姆科勒数 | Da | <math> Da = k \tau</math> | 反应时间与共振时间之比 |
| 阻尼比 | <math>\zeta</math> | <math> \zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}}</math> | 系统中阻尼的程度 |
| 达西阻力系数 | <math>C_f</math>或<math>f</math> | 流体流动 | |
| 狄恩数 | D | <math>\mathit{D} = \frac{\rho V\! d}{\mu} \left( \frac{d/2}{R} \right)^{1/2}</math> | 弯曲管道中的流体涡 |
| 底波拉数 | De | <math> \mathrm{De} = \frac{t_\mathrm{c}}{t_\mathrm{p}}</math> | 粘弹性流体的流动学 |
| 分贝 | dB | 两个强度之比，通常用于声音 | |
| 阻力系数 | <math>C_d</math> | 流动阻力 | |
| Dukhin数 | Du | 异质系统中表面电导率与体积电导率之比 | |
| 欧拉常数 | e | 数学 | |
| 埃克特数 | Ec | 热对流传导 | |
| 埃克曼数 | Ek | 地球物理学（黏质阻力） | |
| 弹性 | E | \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} \right | = \left | \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{x}{y} \right |= \left | \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y} \right |</math> | 经济学，常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响 |
| 厄特沃什数 | Eo | 判断汽泡或液滴形状 | |
| 埃里克森数 | Er | 液晶流动特性 | |
| 欧拉数 (物理学) | Eu | 流体动力学（压力与惯性力之比） | |
| 过量温度系数 | Θr | <math>\Theta_r = \frac{T-T_e}{U_e^2/(2c_p)}</math> | 热力学与流体动力学[11] |
| 范宁摩擦系数 | f | 管道中的流体流动[12] | |
| 费根鲍姆常数 | <math>\alpha, \delta</math> | 混沌理论（周期倍增）[13] | |
| 精细结构常数 | <math>\alpha</math> | <math>\alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}</math> | 量子电动力学 |
| 焦比 | <math>f</math> | 光学、摄影 | |
| Foppl-von Karman数 | 薄壳失稳 | ||
| 傅里叶数 | Fo | 热传导 | |
| 菲涅耳数 | F | <math>F\ \stackrel{def}{=}\ \frac{a^{2}}{L \lambda}</math> | 狭缝衍射[14] |
| 福禄数 | Fr | <math>Fr = \frac{V}{\sqrt{g\ell}}</math> | 波和表面行为 |
| 增益 | 电子学（信号输出与信号输入之比） | ||
| 速比 | 单车传动[15] | ||
| 伽利莱数 | Ga | <math> \mathrm{Ga} =Re^2Ri= \frac{g\, L^3}{\nu^2}</math> | 引力造成的黏质流动 |
| 黄金分割比 | <math>\varphi</math> | 数学、美学 | |
| 格雷茨数 | Gz | 热流 | |
| 格拉斯霍夫数 | Gr | 自由对流 | |
| 重力耦合常数 | <math>\alpha_G</math> | <math>\alpha_G=\frac{Gm_e^2}{\hbar c}</math> | 重力 |
| 八田数 | Ha | <math>Ha = {{ \sqrt{{\frac{2}{{m} + 1}}k_{m,n} {C_{A,i}}^{m - 1} C_{B,bulk}^n {D}_A}} \over {{k}_L}}</math> | 化学反应造成的吸附增强 |
| 哈根数 | Hg | <math>
\mathrm{Hg} = -\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\frac{L^3}{\nu^2} </math> |
强制对流 |
| 水力梯度 | i | 地下水流动 | |
| 雅各布数 | Ja | <math>Ja = \frac{c_p (T_s - T_{sat}) }{h_{fg} }</math> | 液汽相变时所吸收的显能与潜能之比[16] |
| Karlovitz数 | 湍流燃烧 | ||
| Kc数 | <math>K_C</math> | <math>K_c = \frac{VT }{L }</math> | 震荡流场中物体的阻力与惯性之比 |
| 克努森数 | Kn | 分子平均自由程长度与某代表性长度之比 | |
| 尿素清除指数 | Kt/V | 医学 | |
| Kutateladze数 | K | 两相逆流 | |
| 拉普拉斯数 | La | 混溶流体中的自由对流 | |
| 路易斯数 | Le | 质量扩散率与热扩散率之比 | |
| 升力系数 | <math>C_L</math> | 在某攻角下翼型的升力 | |
| Lockhart-Martinelli参数 | <math>\chi</math> | 湿气的流动 [17] | |
| 乐甫数 | 地球的硬性 | ||
| 伦德奎斯特数 | <math>S</math> | ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma | |
| 马赫数 | M | <math>\ M = \frac </math> | 气体动力学 |
| 磁雷诺数 | <math>R_m</math> | 磁流体力学 | |
| 曼宁糙率系数 | n | 开放管道流体流动（由引力推动）[18] | |
| 马兰戈尼数 | Mg | 由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流 | |
| 莫顿数 | Mo | 判断汽泡或液滴形状 | |
| 彭巴数 | <math>K_M</math> | 溶液冷冻时的热传导与扩散[19] | |
| 努塞尔特数 | Nu | <math>Nu =\frac{hd}{k}</math> | 强制对流下的热传导 |
| 奥内佐格数 | Oh | 液体雾化，马兰戈尼流 | |
| 佩克莱特数 | Pe | <math>Pe = \frac{du\rho c_p}{k} = (Re)(Pr)</math> | 平流-扩散问题，总动量传递和分子热传递之间的关系 |
| 剥离数 | 微观结构与底物的黏附作用[20] | ||
| 导流系数 | K | 在带电离子束中空间电荷的强度 | |
| 圆周率 | <math>\pi</math> | 数学（圆周长与直径之比） | |
| 泊松比 | <math>\nu</math> | 弹性（横向与纵向负荷） | |
| 多孔性 | <math>\phi</math> | 地质学 | |
| 功率因数 | 电子学（有功功率与视在功率之比） | ||
| 功率数 | <math>N_p</math> | 搅拌器的功率消耗 | |
| 普兰特数 | <math>Pr</math> | <math>Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}</math> | 黏性扩散率与热扩散率之比 |
| 压力系数 | <math>C_P</math> | 翼型上某个点的压力 | |
| 品质因子 | <math>Q</math> | 描述振子的阻尼 | |
| 弧度 | <math>\theta_{rad}</math> | <math>\theta_{rad} =\frac{s}{r}</math> | 量度平面角，<math>1 \text{ rad} = \frac {180^\circ} {\pi}</math> |
| 瑞利数 | <math>Ra</math> | <math>\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\mathrm{Pr} = \frac{g \beta \Delta T L^3} {\nu \alpha}</math> | 自由对流中的浮力和黏滞力 |
| 折射率 | n | 电磁学、光学 | |
| 雷诺数 | <math>Re</math> | <math>Re = \frac{vL\rho}{\mu}</math> | 流体的惯性力与黏滞力之比[5] |
| 比重 | RD | 比重计，物质间的比较 | |
| 理查逊数 | Ri | 浮力对流动稳定性的影响[21] | |
| 洛氏硬度 | 硬度 | ||
| 滚动阻力系数 | Crr | <math>C_{rr} = \frac{N_f}{F} </math> | 车辆动力学 |
| 罗斯贝数 | <math>Ro</math> | <math>Ro = \frac{U}{LF} </math> | 地球物理学中的惯性力，描述科里奥利力的影响程度 |
| 劳斯数 | Z或P | <math>\mathrm{P} = \frac{w_s}{\beta \kappa u_*}</math> | 沉积物流移 |
| 施密特数 | Sc | <math>\mathit{Sc} = \frac{\nu}{D} = \frac {\mu} {\rho D}</math> | 流体动力学（质量转移与扩散）[22] |
| 形状因数 | H | 边界层流动中排移厚度与动量厚度之比 | |
| 舍伍德数 | Sh | <math>\mathrm{Sh} = \frac {h_DL} {D_{fluid}}</math> | 强制对流中的质量转移 |
| 希尔兹参数 | τ∗或θ | 流体运动造成的沉积物流移的临界 | |
| 索默菲德数 | 边层润滑[23] | ||
| 斯坦顿数 | St | <math>St = \frac{h}{G c_p} = \frac{h}{\rho u c_p}= \frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}}</math> | 强制对流中的热传递 |
| 斯蒂芬数 | Ste | <math>Ste = \frac{C_p\Delta T}{L}</math> | 相变时的热传递 |
| 斯托克斯数 | <math>S_{tk}</math>或<math>S_k</math> | <math>Stk = \frac{\tau\,U_o}{d_c}</math> | 流体流中的粒子动力学 |
| 应变 | <math>\epsilon</math> | <math>\epsilon = \cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} - 1</math> | 材料科学、弹性 |
| 斯特劳哈尔数 | St或Sr | <math>St = {f L\over V} </math> | 持续并脉动的流体流动[24] |
| 泰勒数 | Ta | <math> Ta = \frac{4\Omega^2 R^4}{\nu^2}</math> | 旋转的流体流动 |
| Ursell数 | U | <math>U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3}</math> | 在浅流体层上表面引力波的非线性度 |
| Vadasz数 | Va | <math>Va = \frac{\phi Pr}{Da}</math> | 在多孔介质中流体流动时，该数影响多孔性<math>\phi</math>、普兰特数以及达西阻力系数 |
| 范特霍夫因子 | i | <math> i = 1 + \alpha (n - 1)</math> | 化学定量分析（Kf及Kb） |
| Wallis参数 | J* | <math>\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}</math> | 多相流体流动时的表现速 |
| 韦伯数 | We | <math>We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma}</math> | 表面极为弯曲的多相流体流动 |
| 魏森贝格数 | Wi | <math>Wi = \dot{\gamma} \lambda </math> | 粘弹性流体流动[25] |
| 沃默斯利数 | <math>\alpha</math> | <math>\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}</math> | 持续并脉动的流体流动[26] |
无量纲的物理常数[编辑]
一些基本物理常数，如真空中的光速、万有引力常数、普朗克常数和波兹曼常数等等，在适当挑选时间、长度、质量、电荷及温度等单位后，可以归一（数值为1）。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一，剩余的量必须以实验判定。这些剩余的量包括：
- α：精细结构常数，电磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
- μ或β：质子与电子的不变质量之比，可更广义地指所有基本粒子相对电子的不变质量之比，μ ≈ 1836；
- αs：强相互作用的耦合常数；
- αG：重力的耦合常数，αG ≈ 1.75×10−45。
注释[编辑]
- ↑ 其他称呼另有：无维量、无维度量、无维数量、无次元量等
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- ↑ 存档副本. [2022-04-28]. （原始内容存档于2022-04-28）.
- ↑ https://www.termonline.cn/word/6875/1#
- ↑ 存档副本. [2022-04-28]. （原始内容存档于2022-04-28）.
- ↑ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. （原始内容存档于2012-10-04）.
- ↑ 5.0 5.1 5.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）.
- ↑ Bagnold number 互联网档案馆的存档，存档日期2005-05-10.
- ↑ Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9.
- ↑ Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6.
- ↑ Bond number 互联网档案馆的存档，存档日期2012-03-05.
- ↑ Courant–Friedrich–Levy number 互联网档案馆的存档，存档日期2008-06-05.
- ↑ Schetz, Joseph A. Boundary Layer Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1993: 132–134. ISBN 0-13-086885-X.
- ↑ Fanning friction factor. [2013-01-31]. （原始内容存档于2013-12-20）.
- ↑ Feigenbaum constants. [2013-01-31]. （原始内容存档于2009-08-16）.
- ↑ Fresnel number 互联网档案馆的存档，存档日期2011-10-01.
- ↑ Gain Ratio - Sheldon Brown. [2013-01-31]. （原始内容存档于2016-01-05）.
- ↑ Incropera, Frank P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2007: 376.
- ↑ Lockhart–Martinelli parameter Archive-It的存档，存档日期2008-12-17
- ↑ Manning coefficientPDF（109 KB）
- ↑ Katz J. I. When hot water freezes before cold. Am. J. Phys. 2009, 77: 27–29. Bibcode:2009AmJPh..77...27K. arXiv:physics/0604224 可免费查阅. doi:10.1119/1.2996187. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Mpemba number
- ↑ Peel number. [2013-01-31]. （原始内容存档于2005-10-26）.
- ↑ Richardson number 互联网档案馆的存档，存档日期2015-03-02.
- ↑ Schmidt number 互联网档案馆的存档，存档日期2010-01-24.
- ↑ Sommerfeld number. [2013-01-31]. （原始内容存档于2016-03-16）.
- ↑ Strouhal number 互联网档案馆的存档，存档日期2009-03-25.
- ↑ Weissenberg number 互联网档案馆的存档，存档日期2006-11-01.
- ↑ Womersley number 互联网档案馆的存档，存档日期2009-03-25.
外部链接[编辑]
- John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There? （页面存档备份，存于互联网档案馆）"
- Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Naval Research Laboratory. p. 23 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 24 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 25 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."