等价关系

在数学中，等价关系（英语：Equivalence relation）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值关系。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，. 欧几里得几何中的等量（英语：Equipollence），以及普通的相等关系。

集合<math>A</math>上的每个等价关系都提供了一个<math>A</math>的划分，将<math>A</math>划分为不相交的等价类。<math>A</math>中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。

定义

若集合<math>A</math>上的二元关系<math>R</math>满足以下条件：

1. 自反性：<math>\forall x \in A,~~x R x</math>
2. 对称性：<math>\forall x, y \in A,~~ x R y ~~ \implies ~~y R x</math>
3. 传递性：<math>\forall x, y, z \in A, ~~~( x R y ~~ \wedge ~~ y R z) ~~\implies~~x R z</math>

则称<math>R</math>是一个定义在<math>A</math>上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由<math>R</math>改写为<math> \sim</math>。

事例

等价关系的例子

例如，设<math>A = \{1, 2, \ldots, 8\}</math>，定义<math>A</math>上的关系<math>R</math>如下：

<math>xRy \iff \forall x, y \in A, ~ x \equiv y \pmod{3}</math>

其中<math>x \equiv y \pmod{3}</math>叫做<math>x</math>与<math>y</math>模3同余，即<math>x</math>除以3的余数与<math>y</math>除以3的余数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证<math>R</math>为<math>A</math>上的等价关系。

并非所有的二元关系都是等价关系。一个简单的反例是比较两个数中哪个较大：

• 没有自反性：任何一个数不能比自身为较大（<math>n \ngtr n</math>）
• 没有对称性：如果<math>m > n</math>，就肯定不能有<math>n > m</math>

不是等价关系的关系的例子

• 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。

参见

• 当且仅当
• 等价类
• 集合划分
• 商集
• 分离关系
• 共轭类
• 等距
• 拓扑共轭性
• Up to

参考文献

• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

外部链接

• Equivalence relation, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English） 
• Bogomolny, A., "Equivalence Relationship （页面存档备份，存于互联网档案馆）" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
• Equivalence relation at PlanetMath
• Binary matrices representing equivalence relations （页面存档备份，存于互联网档案馆） at OEIS.