等价类

Template:NoteTA Template:Hatnote 在数学中，假设在一个集合<math>X</math>上定义一个等价关系（用<math> \sim</math>来表示），则<math>X</math>中的某个元素<math>a</math>的等价类就是在<math>X</math>中等价于<math>a</math>的所有元素所形成的子集:

<math>[a] = \{ x \in X | x \sim a \}</math>。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在<math>X</math>中的给定等价关系<math> \sim</math>的所有等价类的集合表示为<math>X / \mathrm{\sim}</math>并叫做<math>X</math>除以<math>\sim</math>的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果<math>X</math>是有限的并且等价类都是等势的，则<math>X / \mathrm{\sim}</math>的序是<math>X</math>的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合<math>X</math>。

对于任何等价关系，都有从<math>X</math>到<math>X / \mathrm{\sim}</math>的一个规范投影映射<math>\pi</math>，给出为<math>\pi(x) = [x]</math>。这个映射总是满射的。在<math>X</math>有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从<math>a</math>到<math>[a]</math>的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

• 如果<math>X</math>是轿车的集合，而<math>\sim</math> 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。<math>X / \mathrm{\sim}</math> 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
• 考虑在整数集合<math>\mathbb{Z}</math>上的“模<math>2</math>” ﹝见同余﹞等价关系: <math>x \sim y</math>当且仅当<math>x - y</math>是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: <math>[0]</math>由所有偶数组成，<math>[1]</math>由所有奇数组成。在这个关系下<math>[7],[9]</math>和<math>[1]</math>都表示<math>\mathbb{Z} / \mathrm{\sim}</math>的同一个元素。
• 有理数可以构造为整数的有序对 <math>(a, b)</math>的等价类的集合，<math>b</math>不能为零，这里的等价关系定义为

<math>(a, b) \sim (c, d)</math>当且仅当<math>ad = bc</math>。

这里的有序对 <math>(a, b)</math>的等价类可以被认同于有理数<math>a/b</math>。

• 任何函数<math>f: X \rightarrow Y</math>定义在X上的等价关系，通过<math>x_{1} \sim x_{2}</math> 当且仅当<math>f(x_{1}) = f(x_{2})</math>。<math>x</math>的等价类是在<math>X</math>中被映射到<math>f(x)</math>的所有元素的集合，就是说，类<math>[x]</math>是<math>f(x)</math>的逆像。这个等价关系叫做<math>f</math>的核。
• 给定群<math>G</math>和子群<math>H</math>，我们可以定义在<math>G</math>上的等价关系，通过<math>x \sim y</math>当且仅当<math>xy^{-1} \in H</math>。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是<math>H</math>自身。它们都有同样数目的元素（在无限<math>H</math>的情况下是势）。如果<math>H</math>是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
• 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
• 连续映射<math>f</math>的同伦类是所有同伦于<math>f</math>的所有映射的等价类。
• 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

因为等价关系的<math>a</math>在<math>[a]</math>中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成<math>X</math>的划分：所有<math>X</math>的元素属于一且唯一的等价类。反过来，<math>X</math>的所有划分也定义了在<math>X</math>上等价关系。

它还得出等价关系的性质

<math>a \sim b</math>当且仅当<math>[a] = [b]</math>。

如果<math>\sim</math>是在<math>X</math>上的等价关系，而<math>P(x)</math>是<math>x</math>的元素的一个性质，使得只要<math>x \sim y, P(x)</math>为真如果<math>P(y)</math>为真，则性质<math>P</math>被称为良好定义的或在关系<math>\sim</math>下“类恒定”的。常见特殊情况出现在<math>f</math>是从<math>X</math>到另一个集合<math>Y</math>的时候；如果<math>x_{1} \sim x_{2}</math>蕴涵<math>f(x_{1}) = f(x_{2})</math>则<math>f</math>被称为在<math>\sim</math>下恒定的类，或简单称为在<math>\sim</math>下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数<math>f</math>的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。

参见

• 等价关系