基 (线性代数)

File:Basis graph.svg

在R²中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。

在线性代数中，基（Template:Langx）是向量空间里某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或线性组合的极限）。

通过基底可以直接地描述向量空间 <math>\mathrm{V}</math> 上定义的线性映射 <math>f</math> ，详请参见线性映射#矩阵一节。

定义

Hamel基

上面的第二个条件，也可以等价地改写为以下两条：

线性无关(linear independence)	对任意相异的<math>e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}</math> 和任意的 <math>\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K</math>，若 <math>\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = 0_V</math>，则<math>\lambda_1= \lambda_2=\ldots =\lambda_n =0_K</math>
生成律(spanning property)	对任意<math>v \in \mathrm{V}</math>，存在相异向量 <math>e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}</math>和标量 <math>\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K</math> 使得 <math>\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n = v</math>

等价性来自于线性无关：

若有第二组相异 <math>E_1,\, E_2,\,\ldots ,\, E_m \in \mathfrak{B}</math> 基向量和第二组标量 <math>c_1,\, c_2,\,\ldots ,\, c_m \in K</math> 也满足 <math>c_1 \cdot E_1 + c_2 \cdot E_2 + \cdots + c_m \cdot E_m = v</math> 的话，把这住两组基向量合并，并重新排列，于两组间重复的记为 <math>w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}</math> ，其他不重复的部分，第一组的记为 <math>v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}</math> ；而第二组的记为 <math>u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}</math> ；然后设 <math>w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}</math> 于原来第一组对应的标量系数是 <math>\alpha_1,\, \alpha_2,\,\ldots ,\, \alpha_l \in K</math> ；原第二组则是对应 <math>a_1,\, a_2,\,\ldots ,\, a_l \in K</math> 。另外 <math>v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}</math> 对应的标量系数则为 <math>\beta_1,\, \beta_2,\,\ldots ,\, \beta_{n-l} \in K</math> ；<math>u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}</math> 对应的标量系数则为 <math>b_1,\, b_2,\,\ldots ,\, b_{m-l} \in K</math> ； 这样把 <math>v \in \mathrm{V}</math> 的第一组线性组合表达式减去第二组会有

<math>\sum^{l}_{i=1}(\alpha_i-a_i)\cdot w_i

+\sum^{n-l}_{j=1} \beta_j \cdot v_j +\sum^{m-l}_{k=1} (-b_k) \cdot u_k = 0_V</math>

这样依据线性无关，就有

<math>\alpha_1-a_1 = \alpha_2-a_2 = \cdots = \alpha_l-a_l = 0_K</math>

<math>\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_{n-l} = 0_K</math>

<math>b_1 = b_2 = \cdots = b_{m-l} = 0_K</math>

这就确保任意 <math>v \in \mathrm{V}</math> 的线性组合表达式都是用同一组的基向量，且其标量系数也是唯一的。

Schauder基

除了上小节单以线性组合定义的Hamel基，也有以无穷级数展开任意向量为动机来定义基：

第二项条件通常会简写为

对每个 <math>v \in \mathrm{V}</math> ，都存在唯一组标量<math>{\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}</math>，使 <math>v=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i</math>

甚至写为

<math>v=\sum^{\infty}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i</math>

例子

在傅立叶级数的研究中，函数<math>\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}</math>是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数<math>f(x)</math>满足

<math>\int_0^{2\pi} \left|f(x)\right|^2\,dx<\infty.</math>

函数族<math>\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}</math>是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\biggl|a_0+\sum_{k=1}^n \bigl(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr)-f(x)\biggr|^2\,dx=0</math>

对于适合的（实数或复数）系数a_k, b_k。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

维度

如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，并将元素的个数称作向量空间的维度。如果原本的基底为：

<math>\mathfrak{B} = \left\{e_1,\,e_2,\ldots,\,e_N\right\}</math>

那时也可依据元素个数的数数是以一对一对应来定义的本质，反过来用基向量序列 <math>{\{e_i \in V\}}^{N}_{i=1}</math> 来间接代表<math>\mathfrak{B}</math>。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

性质

设<math>\mathfrak{B}</math>是向量空间<math>\mathrm{V}</math>的子集。则<math>\mathfrak{B}</math>是基，当且仅当满足了下列任一条件：

• <math>\mathrm{V}</math>是<math>\mathfrak{B}</math>的极小生成集，就是说只有<math>\mathfrak{B}</math>能生成<math>\mathrm{V}</math>，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
• <math>\mathfrak{B}</math>是<math>\mathrm{V}</math>中线性无关向量的极大集合，就是说<math>\mathfrak{B}</math>在<math>\mathrm{V}</math>中是线性无关(线性独立)集合，而且<math>\mathrm{V}</math>中没有其他线性无关(线性独立)集合包含它作为真子集。
• <math>\mathrm{V}</math>中所有的向量都可以按唯一的方式表达为<math>\mathfrak{B}</math>中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子

• 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R²，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e₁ = (1,0)和e₂ = (0,1):假设v = (a, b)是R²中的向量，则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R²的一个基。

• 更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e₁, e₂, ..., e_n可以在实数域上生成Rⁿ。因此，它们也是的一个基而Rⁿ的维度是n。这个基叫做Rⁿ的标准基。

• 设V是由函数e^t和e^2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

• 设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x², ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于<math>\aleph_0</math>.

标准基

在行向量空间<math>\R^n</math>中有单位行向量

<math>E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)</math>

那么在该空间中，任意向量<math>X=(x_1,x_2,...,x_n)</math>,都可以唯一表示成<math>X=x_1E_{(1)}+x_2E_{(2)}+...+x_nE_{(n)}</math>.然后我们可以看出，<math>\R^n</math>可以由它的向量子空间构成

<math>\R^n</math><math>=<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}></math>.

同样的，单位列向量就可以表达为<math>\R^n</math><math>=[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]</math>.

线性无关的单位行向量<math>E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}</math>生成<math>\R^n</math>. 那么<math>{E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}</math>是<math>\R^n</math>的基，称这个基为标准基.

基的扩张

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果<math>\mathfrak{L}</math>是在向量空间<math>\mathrm{V}</math>中的一个线性无关集合而集合<math>\mathfrak{G}</math>是一个包含<math>\mathfrak{L}</math>而且能够生成<math>\mathrm{V}</math>的集合，则存在<math>\mathrm{V}</math>的一组基<math>\mathfrak{B}</math>，它包含了<math>\mathfrak{L}</math>而且是<math>\mathfrak{G}</math>的子集：<math>\mathfrak{L} \subseteq \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{G}</math>。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：<math>\mathfrak{B} =\{ e_1, e_2 , \cdots , e_n \} </math>写成有序向量组：<math> ( e_1, e_2 , \cdots , e_n ) </math>。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设<math>\mathrm{V}</math>是在域<math>\mathbb{F}</math>上的n维向量空间。在<math>\mathrm{V}</math>上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间<math>\mathbb{F}^n</math>到<math>\mathrm{V}</math>的一个选定线性同构<math>\phi</math>。

证明：这个证明利用了<math>\mathbb{F}^n</math>的标准基是有序基的事实。

首先假设

<math>\phi : \; \; \mathbb{F}^n \rightarrow \mathrm{V}</math>是线性同构。可以定义<math>\mathrm{V}</math>的一组有序基<math>\{v_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}</math>如下：

<math> v_i = \phi (e_i) , \; \; \forall i, \; 1\leqslant i \leqslant n . </math>

其中的<math>\{e_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}</math>是<math>\mathbb{F}^n</math>的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

φ(x) = x₁v₁ + x₂v₂ + ... + x_nv_n,

这里的x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n是Fⁿ的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fⁿ → V。

确定自有序基{v_i}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈ V, φ^-1(v) = (a₁, a₂,...,a_n) ∈ Fⁿ，则a_j = a_j(v)的分量是v的坐标，在v = a₁(v) v₁ + a₂(v) v₂ + ... + a_n(v) v_n的意义上。

从向量v到分量a_j(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ^-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。

参见

• 线性代数
• 线性组合

外部链接

• MIT Linear Algebra Lecture on Bases （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Google Video, from MIT OpenCourseWare