乘法
| 算术运算 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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乘法是四则运算之一。乘法运算的本质，就是“同类累加的简写形式”。
例如：
- <math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ 个 b}} .</math>
<math>a</math> 和 <math>b</math> 都是本式的因数（或称约数），其运算结果称为积。
<math>a\times b</math>可以念作“a 乘 b”或“a 乘以 b”。念作“a 乘 b”时 <math>a</math> 是乘数，<math>b</math> 是被乘数，即“<math>a</math>个<math>b</math>”。念作“a 乘以 b”则相反，表示“<math>a</math>的<math>b</math>倍”。这种双意并非中文或者英文特有。乘数和被乘数的交替并不会影响乘法的结果。[1][2]
乘法运算亦有其它形象理解：对于整数乘法，可表现为将对象排列成矩形数组；对于实数乘法，则可解释为计算矩形面积。同样地，运算结果不受边长测量顺序的影响。
在乘法基本概念的基础上，序列乘积、向量乘法、复数及矩阵运算等均对其进行了概念扩展。这些更高级的数学结构会以各自方式影响乘法的基本性质——例如矩阵乘法和某些向量乘法会呈现非交换性，复数乘法则会改变复数的符号。
引言[编辑]
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
- 买5个单价为3圆的冰激凌：由<math>5\times 3 = 15</math>可得，需要支付15圆。
- 要搭一个3层高、每层4块积木的小塔：由<math>3\times 4 = 12</math>可得，需要12块积木。
其次，数学和物理存在许多“累加关系”：
- 已知匀速直线运动状态下，某物体行进速度为 <math>v</math> ，所用时间为 <math>t</math> ，可得累计距离 <math>d=v\times t</math> ；
- 已知一个物体的密度为 <math>\rho</math> （假设密度均匀），体积为 <math>V</math> ，可得其质量 <math>m = \rho \times V</math> ；
......
可见，在数学，尤其是在基本算术中，乘法是加法的“快捷版”。
定义[编辑]
基本定义[编辑]
乘法运算，指通过特定法则将两个或多个数结合生成积的运算过程。其核心内涵包括：
- 同类累加的简写形式：表示将相同值的数进行连续叠加的运算（如 <math>3\times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math> ）
- 比例关系的量化表达：当乘数非整数时，可表示为原数的分数（小数）倍（如 <math>3\times 0.5</math> 表示 <math>3</math> 的一半，<math>4\times \dfrac1{3}</math> 表示 <math>4</math> 的三分之一）
- 维度扩展的数学工具：在几何学中，用于计算面积（长 <math>\times</math> 宽）、体积（长 <math>\times</math> 宽 <math>\times</math> 高）等空间度量
符号与表示[编辑]
乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：
- <math>5 \times 2</math>
- <math>5 \cdot 2</math>
- <math>5 * 2</math>
- <math>(5)(2)</math>
古代常用的方法是将两个数并排，没有什么特别的符号来表示乘法。
以“<math>\times</math>”表示乘法，是由奥特雷德于1618年最先引入，也是现在最流行的写法。在电脑领域，也有为方便键盘输入而以小写英文字母“x”替代“×”。
以“<math>\cdot</math>”表示乘法，如今已成为美国[3][4]、德国、法国等国家[5]的标准。其最早由托马斯·哈里奥特于1631年出版的著作使用，但令这种用法影响深远的人是莱布尼兹。
因为星号“<math>*</math>”是键盘必备的符号，电脑常用其表示乘号，这种用法起源于FORTRAN语言。
代数中，为方便书写，乘号常被略去（如 <math>5x</math> 和 <math>xy</math> ）。但如果变量多于一个字母，则易令人混淆。同时如果只有数字，乘号则不应略去，如 <math>5 \times 2</math> 不会表示成 <math>52</math> 。
累乘则用大写希腊字母 <math>\Pi</math>（Pi）表示：
- <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}</math>
性质[编辑]
乘法运算的数学性质在不同定义和数系下具有多样性，以下是主要分类及详细说明。
基本运算律[编辑]
单位元、零元与逆元性质[编辑]
- 乘法单位律：任何数乘以 <math>1</math> ，都会等于该数本身，即<math>1x = x</math>。此律可扩展至多项式中的常数项。
- 零元性质：任何数乘以 <math>0</math> ，即是什么也没做过，结果为零，即<math>0x = 0</math>。同样地，多个因数中若含 <math>0</math> ，积必为 <math>0</math> 。
- 逆元性质：非零数 <math>a</math> 的逆元（亦为其倒数）为 <math>\dfrac 1{a}</math> ，满足 <math>a\times \dfrac 1{a} = 1</math> 。
特殊数系下的性质[编辑]
实数与复数除法[编辑]
矩阵乘法[编辑]
模运算[编辑]
在模 <math>n</math> 下，乘法逆元存在当且仅当数与 <math>n</math> 互素（如模素数时所有非零数均有逆元）。
不同的乘法运算[编辑]
两个数的乘法运算或积（这两个数可以是自然数、整数、分数、实数、复数、四元数等）的数学定义，相似而又各有特性。
自然数乘法[编辑]
两个自然数 <math>m,n\in\mathbb{N}</math> ，其乘积为：
- <math>mn = nm = \sum_{k=1}^n m = \sum_{k=1}^m n</math>
这是将该整数自身重复相加若干次的简写法。换言之：
- <math>mn = nm = \underbrace{m+m+m+ \cdots +m}_{n\text {个 m}} = \underbrace{n+n+n+ \cdots +n}_{m\text {个 n}}</math>
长远来看，将乘法视为重复加法并不高效。因此，数学家归纳了从 <math>1</math> 到 <math>9</math> 的乘法结果，即九九乘法表。
多个自然数相乘时，我们使用括号标明运算顺序。为避免过多括号，规定以下优先级规则：乘法始终优先于加法。例如在表达式 <math>4 + 5\times 2</math> 中，应理解为 <math>4 + (5\times 2) = 4+10=14</math> ，而非 <math>(4+5)\times 2 = 9\times 2 = 18</math> 。
当<math>x</math>是量，<math>y</math>是自然数时，定义乘法递归如下：
- <math>0x = 0</math>
- <math>xy = x + x(y - 1)</math>
整数乘法[编辑]
整数乘法推广自然数乘法至负数，符号规则为：同号得正，异号得负，绝对值相乘。
分数（小数）乘法[编辑]
两个分数 <math>\frac{z}{n},\frac{z'}{n'}</math> 作乘法运算时，分子与分子相乘，分母与分母相乘：
- <math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'} </math>
当且仅当 <math> n,n'\neq 0 </math> 时成立。
两个小数作乘法运算时，可利用乘法交换律的特性进行计算。
例如，计算 <math>43.1</math> 乘以 <math>1.215</math> 时：
- <math>\begin{align} 43.1 \times 1.215&= \left(431\times \frac 1{10}\right) \times \left(1\;215\times \frac 1{1\;000}\right)\\
&= (431 \times 1\;215) \times \left(\frac1{10}\times \frac1{1\;000}\right)\\ &= (431 \times 1\;215) \times \frac1{10\;000}\\ &= \frac {523\;665}{10\;000}\\ &= 52.3665\end{align}</math>
可见，两个小数作乘法运算时，先忽略小数点，计算两数小数点后数字的位数之和，将两数视为整数相乘，最后在结果中从右往左数出与总位数相同的位数，并放置小数点。
又如，计算 <math>3.15</math> 乘以 <math>1.2</math> 时：
- 先计算整数部分相乘：<math> 315\times 12 = 3780</math>
- 再将小数点向左移动 <math>3</math> 位：<math>3780 \Rightarrow 3.780</math>（末尾的 <math>0</math> 可省略，写作 <math>3.78</math>）
实数乘法[编辑]
实数乘法是前文乘法的推广，性质也相同。其核心在于：每个实数都是某有理数集的上确界。特别地，每个正实数是其无限小数展开式截断序列的上确界，例如 <math>\pi</math> 是集合 <math>\{3,\; 3.1,\; 3.14,\; 3.141,\ldots\}</math> 的上确界。
实数的一个基本性质是：有理逼近与算术运算（特别是乘法）兼容。这意味着，若正实数 <math>a</math> 和 <math>b</math> 分别表示为集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> 的上确界（即 <math>a=\sup_{x\in A} x</math> ， <math>b=\sup_{y\in B} y</math> ），则两数乘积 <math>a\cdot b</math> 等于所有 <math>x\in A</math> 与 <math>y\in B</math> 的乘积项的上确界（即 <math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y</math> ）。具体而言，两个正实数的乘积等于其十进制展开式逐项积序列的上确界。
对于涉及负实数的乘法运算，可通过符号法则简化处理：正负号的变化将上确界转化为下确界。很多人都通过柯西序列构造实数，因为这种方法无需考虑四种可能的符号组合情况，从而简化了运算规则的推导过程。
复数乘法[编辑]
复数乘法可通过分配律和虚数单位性质 <math> i^2=-1</math> 进行运算。具体地，两个复数 <math>(a + b\, i)</math> 与 <math>(c + d\, i)</math> 作乘法运算时，展开过程为：
- <math>\begin{align}
(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) &= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\ &= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i
\end{align}</math>
其中 <math>i^2</math> 替换为 <math>-1</math> 后，实部与虚部分别合并。
从几何视角理解，复数可表示为极坐标形式：
- <math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math>
- <math>c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) + i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi}</math>
- <math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
其几何意义在于模长相乘（ <math>r\cdot s</math> ）、辐角相加（ <math>\varphi + \psi</math> ）。
四元数乘法[编辑]
基于集合论的乘法[编辑]
非负整数的乘法可通过集合论中的基数概念或皮亚诺公理进行定义。基数理论通过集合的势（即集合元素的数量）定义乘法，例如，两个有限集合的笛卡儿积的势等于各自势的乘积。而皮亚诺公理体系则通过自然数的递归定义实现乘法运算：设非负整数表示为自然数，其乘法可归纳定义为：
- 基例：对任意非负整数 <math>a</math> ，有 <math>a\times 0 = 0</math> ；
- 递推规则：对任意非负整数 <math>a</math> 、<math>b</math> ，有 <math>a\times {(b+1)} = a\times b + a</math> 。
此定义通过数学归纳法可证明满足乘法结合律、交换律等基本性质。
对于任意整数的乘法，需在自然数乘法基础上引入符号规则。例如，负整数乘法定义为：若 <math>a</math> 、<math>b</math> 为自然数，则 <math>{(-a)}\times {(-b)} = a\times b</math> ，而 <math>{(-a)}\times b = -{(a\times b)}</math> 。这一扩展保持了乘法运算的代数结构一致性。
有理数乘法则通过分数形式定义：若 <math>\dfrac ab</math> 与 <math>\dfrac cd</math> 为最简分数（ <math>b</math> 、<math>d\neq 0</math> ），则其乘积为 <math>\dfrac{ac}{bd}</math> ，分母通过集合论中的笛卡尔积构造，分子通过自然数乘法定义。此过程需验证运算的封闭性与唯一性，例如通过交叉相乘消去公约数，确保结果仍为最简分数。
实数乘法的定义依赖于有理数乘法的完备性。通过戴德金分割或柯西序列构造实数时，乘法运算被定义为极限运算：若 <math>\{a_n\}</math> 和 <math>\{b_n\}</math> 为收敛的有理数序列，则实数乘积定义为 <math>\lim (a_n\times b_n)</math> 。此定义需满足乘法与极限运算的交换性，并通过 <math>\epsilon - \delta</math> 语言严格证明其合理性。
基于群论的乘法[编辑]
在群论中，若一个集合在乘法运算下满足封闭性、结合律、存在单位元且每个元素均有逆元素，则称其构成群结构。这些公理构成了群的定义基础。
以非零有理数集为例，其乘法运算满足群的所有条件：单位元为1（不同于加法群的单位元0），每个非零有理数均存在乘法逆元，且乘法运算封闭（因为两个非零有理数相乘仍为非零有理数）。但需注意的是，零必须被排除，因其乘法逆元不存在。此例中的群为阿贝尔群，但群论中并非所有乘法群均为阿贝尔群。
考虑可逆方阵群：给定域上同维数的可逆矩阵集合，其乘法运算满足封闭性（矩阵相乘仍为同维可逆矩阵）、结合律、单位矩阵作为单位元，且每个矩阵均有逆矩阵。然而，矩阵乘法不满足交换律（如 <math>{AB}\neq {BA}</math> ），因此该群为非阿贝尔群。
即使排除零元，整数集在乘法下也不构成群。原因在于除 <math>1</math> 和 <math>-1</math> 外，其他整数均无乘法逆元。这一特性凸显了乘法群对逆元存在与否的严格要求。
群的乘号通常表示为点乘（<math>\cdot</math>）或直接省略不写。在描述群时，点乘符号常用于明确运算，例如非零有理数乘法群可记为（ <math>\mathbb{Q} \{0\}, \cdot</math> ）。这种符号体系与加法群（如（ <math>\mathbb{Z}, +</math> ））形成对比，体现了运算类型的差异。
运算方法[编辑]
历史上的算法[编辑]
迄今为止发现的最早的乘法运算，是可追溯至旧石器时代初期的伊尚戈骨上的刻痕。划痕可能是计数符号，也可能只是为了方便抓握，或有其他非数学的目的。[6]
古埃及人采用连续加倍法进行整数和分数的乘法运算，这一方法在《莱因德数学纸草书》中有详细记载。[7]例如，计算 <math>13\times 21</math> 时，通过将<math>21</math>依次加倍三次得到<math>42</math>、<math>84</math>、<math>168</math>，再根据加倍序列中的对应项，得出 <math>{(1 + 4 + 8)}\times 21 = 273</math> 。
巴比伦人使用六十进制系统，其乘法运算与现代十进制类似，但因 <math>60\times 60 = 3600</math> 种组合过多，他们通过制作包含前<math>20</math>个基数倍数的乘法表（如 <math>n, 2n, \ldots, 20n</math> 及 <math>30n, 40n, 50n</math> ）来简化计算，如 <math>53n</math> 可通过 <math>50n + 3n</math> 的组合快速得出。
古希腊人以几何图形（如矩形）表示乘法，体现“乘积即面积”的思想。欧几里得更是在《几何原本》中用几何方法证明乘法分配律。
中国古代拥有史上最早、最详细的十进制位值制乘法规则，其首见于南北朝时期的孙子算经。孙子乘法的核心，是通过纵横排列的算筹模拟位值运算，如计算 <math>49\times 36</math> 时，先以算筹摆出 <math>49</math> 和 <math>36</math> ，再按“九九表”逐位相乘并累加，终得 <math>1764</math> 。这种算法在9世纪传至中东，13世纪又译成拉丁文而流行于欧洲。至于九九乘法表，则在战国时期已成熟应用[8]，其采用“小九九”形式，从“九九八十一”到“一一如一”，比古埃及的累加法效率提升数十倍。
阿拉伯穆斯林于9世纪引入印度数字和位值制，结合阿拉伯语符号形成计算体系，推动乘法运算标准化。而数学家花拉子米在接纳中国的孙子乘法后，在《代数学》中将乘法与方程系统化结合，提出“还原与对消”法，将乘法纳入代数运算框架，影响欧洲数学发展。
印度古代的乘法运算亦有发展。7世纪，数学家婆罗摩笈多提出“交叉相乘法”，即 <math>(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd</math> ，简化多位数乘法步骤。例如计算 <math>{123}\times {456}</math> 时，通过分项相乘再求和，减少重复计算。12世纪，印度文献中出现类似中国古代“铺地锦”的图形化乘法，通过网格线段交叉点计数得出结果，后经阿拉伯传入欧洲。“纳皮尔的骨头”便是借鉴“铺地锦”的灵感产生的。
现代算法[编辑]
现代基于印度-阿拉伯数字系统的乘法，最早同样由婆罗摩笈多系统阐述。他在7世纪著作《婆罗摩修正体系》中完整定义了加、减、乘、除四则运算的规则，其乘法体系包含多种算法，现代竖式乘法即源于此。此算法通过花拉子米的著作《印度数字算术》于9世纪初传入阿拉伯世界，其《代数学》系统集成了印度数字与运算规则。13世纪，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中推广此法，最终使印度-阿拉伯数字系统取代罗马数字成为欧洲主流。[9]
其它算法[编辑]
用手指算乘法[编辑]
除了加法，在有限范围内，乘法也可以用手指完成。为此，两个因数需处于同一十位半区，也就是说，两者要么均以 <math>1</math> 至 <math>5</math> 结尾，要么均以 <math>6</math> 至 <math>0</math> 结尾。
对于因数以 <math>1</math> 至 <math>5</math> 结尾的情况：
- 首先为手指编号：从小指开始，依次标记为 <math>10\cdot {(d-1)}+1</math> 至拇指为 <math>10\cdot {(d-1)}+5</math> （其中 <math>d</math> 表示对应数的十位，如第二位为 <math>1</math> 时，对应 <math>11</math> 至 <math>15</math> ）；
- 对齐两个因数的手指后，数出下方手指总数（包括对齐的手指），将其乘以 <math>d\cdot 10</math> ；
- 计算左右手下方手指（不包含对齐的手指）的乘积；
- 最后，加上常数项 <math>{d^2}\cdot 100</math> ，结果即为所求。
对于因数以 <math>6</math> 至 <math>0</math> 结尾的情况：
- 类似地，从小指开始，依次标记为 <math>10\cdot {(d-1)}+6</math> 至拇指为 <math>10\cdot d</math> （其中 <math>d</math> 表示对应数的十位，如第二位为 <math>1</math> 时，对应 <math>16</math> 至 <math>20</math> ）；
- 对齐两个因数的手指后，数出下方手指总数（包括对齐的手指），将其乘以 <math>d\cdot 10</math> （同上）；
- 计算左右手上方手指（不包含对齐的手指）的乘积（同上）；
- 最后，加上常数项 <math>d\cdot {(d-1)}\cdot 100</math> ，结果即为所求。
以 <math>7\times 8</math> 为例： <math>7</math> 和 <math>8</math> 均以 <math>6</math> 至 <math>0</math> 结尾，而 <math>d = 1</math> 。对齐手指后，下方手指有 <math>5</math> 根，乘以 <math>1\times 10 = 10</math> 得 <math>50</math> ；上方手指分别为 <math>3</math> 根和 <math>2</math> 根，积为 <math>3\times 2 = 6</math> ；加法常数项 <math>{(1-1)}\cdot 1\cdot 100 = 0</math>，总和为 <math>50 + 6 + 0 = 56</math> 。
再如 <math>24\times 22</math> ： <math>24</math> 和 <math>22</math> 均以 <math>1</math> 至 <math>5</math> 结尾，而 <math>d = 2</math> 。对齐手指后，下方手指有 <math>6</math> 根，乘以 <math>2\times 10 = 20</math> 得到 <math>120</math> ；下方手指分别为 <math>4</math> 根和 <math>2</math> 根，积为 <math>4\times 2 = 8</math> ；加法常数项 <math>{2^2}\cdot 100 = 400</math> ，总和为 <math>120 + 8 + 400 = 528</math> 。
此方法尤其适用于快速心算平方数。对于不同十位或十位半区的因数，可通过分解为和的形式（如 <math>{(a+x)}\cdot {(a+y)}</math> ）应用该技巧。其数学原理基于多项式展开：
- <math> (a+x) \cdot (a+y) = a^2 + (x+y) \cdot a + x \cdot y</math>
尺规作图法[编辑]
从相交弦定理出发的尺规法[编辑]
利用相交弦定理算乘法
如图1所示，过点 <math>O</math> 作一直线，分别在 <math>O</math> 点两侧截取长度为 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的线段，得点 <math>A</math> 和 <math>B</math> 。再从 <math>O</math> 出发，沿另一方向作射线，截取单位长度 <math>1</math> ，得点 <math>E</math> 。过 <math>A</math> 、<math>B</math> 、<math>E</math> 三点作外接圆，该圆与第二条射线的交点 <math>C</math> 满足相交弦定理：
- <math>a\cdot b = \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \underbrace{\overline{OE}}_{=1} \cdot \,\overline{OC}</math>
- <math>\overline{OE} = 1 \Longrightarrow \overline{OC} = a\cdot b</math>
此法通过构造三角形外接圆，将乘法转化为几何长度的投影关系。
从割线定理出发的尺规法[编辑]
利用割线定理算乘法
如图2所示，设圆外一点 <math>O</math> ，沿同一方向截取长度为 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的线段，得点 <math>A</math> 和 <math>B</math> 。过 <math>O</math> 作与 <math>BO</math> 成任意角 <math>\alpha</math> 的射线，在该射线上截取单位长度 <math>1</math> ，得点 <math>C</math> 。作 <math>AB</math> 和 <math>AC</math> 的垂直平分线以确定圆心，过 <math>A</math> 、 <math>B</math> 、 <math>C</math> 三点作外接圆，该圆与射线交于点 <math>D</math> 。根据割线定理：
- <math>a\cdot b = \overline{OA} \cdot \overline{OB} = {\overline{OC}} \cdot\,\overline{OD}</math>
通过调整射线角度 <math>\alpha</math> ，可利用相似三角形关系将乘积转化为圆外一点到交点的距离。
从相似三角形出发的尺规法[编辑]
利用相似三角形算乘法
如图3所示，在射线 <math>A</math> 上截取单位长度 <math>1</math> 和长度 <math>b</math> ，得点 <math>E</math> 和 <math>B</math> ，从 <math>E</math> 出发，沿另一方向截取长度 <math>a</math> ，得点 <math>C</math> 。过 <math>C</math> 作与 <math>AB</math> 平行的直线，与过 <math>A</math> 的射线交于点 <math>D</math> 。由相似三角形关系可得：
- <math>\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\Longrightarrow \overline{BD} = a\cdot b</math>
此法通过构造平行线与相似三角形，将乘法运算转化为几何比例问题。
参考[编辑]
- ^ Devlin, Keith. What Exactly is Multiplication?. Mathematical Association of America. January 2011 [May 14, 2017]. （原始内容存档于May 27, 2017）.
With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first)
- ^ Devlin, Keith. What exactly is multiplication?. profkeithdevlin.org. January 2011 [12 December 2024]. （原始内容存档于12 December 2024）.
- ^ Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. John Wiley & Sons. 2013: 101. ISBN 978-1-118-48700-6.
- ^ Klose, Orval. The Number Systems and Operations of Arithmetic. Pergamon Press. 1966: 39. ISBN 978-1-4831-3709-4.
- ^ Humez, Alexander; Humez, Nicholas. On the Dot: The Speck That Changed the World. Oxford University Press. 2 October 2008: 103. ISBN 978-0-19-971718-7.
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- ^ Peasant Multiplication. cut-the-knot.org. [2021-12-29].
- ^ Qiu, Jane. Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips. Nature. 7 January 2014 [22 January 2014]. S2CID 130132289. doi:10.1038/nature.2014.14482 可免费查阅. （原始内容存档于22 January 2014）.
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