特殊么正群

在數學中，<math>n</math> 階特殊么正群（英語：special unitary group），記作 <math>\operatorname{SU}(n)</math>，是行列式為 1 的 <math>n\times n</math> 么正矩陣組成的群（一般么正矩陣的行列式是絕對值為1的複數）。群運算是矩陣乘法。特殊么正群是由 <math>n\times n</math> 么正矩陣組成的么正群 <math>\operatorname{U}(n)</math> 的一個子群，么正群又是一般線性群 <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C}</math>) 的一個子群。

群 <math>\operatorname{SU}(n)</math> 在粒子物理中標準模型中有廣泛的應用，特別是 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 在電弱相互作用與 <math>\operatorname{SU}(3)</math> 在量子色動力學中。

最簡單的情形 <math>\operatorname{SU}(1)</math>，是平凡群，只有一個元素。群 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 同構於範數為 <math>1</math> 的四元數，從而微分同胚於三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉（差一個符號），我們有一個滿同態從 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 到旋轉群 <math>\operatorname{SO}(3)</math>，其核為 <math>\{+I, -I\}</math>。

性質

特殊么正群 SU(n) 是一個 n²-1 維實矩陣李群。在拓撲上是緊及單連通的。在代數上，它是一個單純李氏群（意為它的李代數是單的，見下）。SU(n) 的中心同構於循環群 Z_n。當 n ≥ 3，它的外自同構群是 Z₂，而 SU(2) 的外自同構群是平凡群。

SU(n) 代數由 n² 個算子生成，滿足交換關係（對 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

<math>\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}</math>

另外，算子

<math>\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}</math>

滿足

<math>\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0</math>

這意味着 SU(n) 獨立的生成元個數是 n²-1。

生成元

一般地，SU(n) 的無窮小生成元（infinitesimal generator） T，由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即

• <math>\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,</math>

以及

• <math> T_a = T_a^\dagger .\,</math>

基本表示

在定義或基本表示中，由 <math>n\times n</math> 矩陣表示的生成元是：

• <math>T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,</math>

這裏係數 <math>f</math> 是結構常數，它對所有指標都是反對稱的，而係數 <math>d</math> 對所有指標都是對稱的。

從而

• <math>\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,</math>
• <math>\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,</math>

我們也有

• <math>\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,</math>

作為一個正規化約定。

伴隨表示

在伴隨表示中，生成元表示由 <math>(n^2-1) \times (n^2-1)</math> 矩陣表示，其元素由結構常數定義：

• <math> (T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,</math>

SU(2)

<math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math> 一個一般矩陣元素形如

<math>U =

\begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}</math>

這裏 <math>\alpha,\beta\in\mathbb{C}</math> 使得 <math>|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>。我們考慮如下映射 <math>\varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math>，（這裏 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 表示 2×2 複矩陣集合），定義為

<math>

\varphi(\alpha,\beta) = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}. </math>

考慮到 <math>\mathbb{C}^2</math> 微分同胚於 <math>\mathbb{R}^4</math> 和 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 同胚於 <math>\mathbb{R}^8</math>，我們可看到 <math>\varphi</math> 是一個實線性單射，從而是一個嵌入。現在考慮 <math>\varphi</math> 限制在三維球面上，記作 <math>S^3</math>，我們可發現這是三維球面到 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有 <math>\varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math>，作為一個流形微分同胚於 <math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math>，使 <math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math> 成為一個緊連通李群。

現在考慮李代數 <math>\mathfrak{su}_2(\mathbb{C})</math>，一個一般元素形如

<math>

U' = \begin{pmatrix} ix & -\overline{\beta}\\ \beta & -ix \end{pmatrix} </math>

這裏 <math>x \in \mathbb{R}</math> 以及 <math>\beta \in \mathbb{C}</math>。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零並為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成

<math>

u_1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad u_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad u_3 = \begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix} </math>

易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係 <math>u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1</math> 和 <math>u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3</math>。從而交換子括號由

<math>

[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1. </math>

確定。上述生成元與泡利矩陣有關，<math>u_1 = i\sigma_1</math>, <math>u_2 = -i\sigma_2</math> 及 <math>u_3 = i\sigma_3</math>。

SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定義表示中為

<math>T_a = \frac{\lambda_a}\sqrt{2} .\,</math>

這裏 <math>\lambda \,</math> 為蓋爾曼矩陣，是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比：

<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math>	<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>

注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。

它們服從關係

• <math>\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,</math>

這裏 f 是結構常數，如上所定義，它們的值為

<math>f^{123} = 1 \,</math>

<math>f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,</math>

<math>f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,</math>

d 的取值：

<math>d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,</math>

<math>d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,</math>

<math>d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,</math>

李代數

<math>\mathrm{SU}(n)</math> 對應的李代數記作 <math>\mathfrak{su}(n)</math>。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特 <math>n \times n</math> 複矩陣組成，以通常交換子為李括號。粒子物理學家通常增加一個因子 <math>i</math>，從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意 <math>\mathfrak{su}(n)</math> 是 <math>\mathbb{R}</math> 上一個李代數。

例如，下列量子力學中使用的矩陣組成 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 在 <math>\mathbb{R}</math> 上的一組基：

<math>i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math>

<math>i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}</math>

（這裏 <math>i</math> 是虛數單位。）

這個表示經常用於量子力學（參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣）表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量。

注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元，以及生成元反交換。與單位矩陣（乘以 <math>i</math>）一起

<math> i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}</math>

它們也是 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 的生成元。

當然這裏它取決於我們最終處理的問題，比如在非相對論量子力學中為 2-旋量；或在相對論狄拉克理論中，我們需要到 4-旋量的一個擴張；或在數學中甚至是克里福代數。

註：在矩陣乘法下（在此情形是反交換的），生成克里福代數 <math>\mathrm{Cl}_3</math>，而在交換子括號下生成李代數 <math>\mathfrak{su}(2)</math>。

回到一般的 <math>\mathrm{SU}(n)</math>：

如果我們選擇（任意）一個特定的基，則純虛數無跡對角 <math>n \times n</math> 矩陣子空間組成一個 <math>n - 1</math> 維嘉當子代數。

將這個李代數復化，從而現在允許任何無跡 <math>n \times n</math> 矩陣。權本徵向量是嘉當子代數自己，只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數 <math>\mathrm{h}</math> 只是 <math>n - 1</math> 維，但為了化簡計算，經常引入一個輔助元素，與所有元素交換的單位矩陣（它不能視為這個李代數的一個元素）。故我們有一個基，其中第 <math>i</math> 個基向量是在第 <math>i</math> 個對角元素為 <math>1</math> 而在其它處為零的矩陣。則權由 <math>n</math> 個坐標給出，而且在所有 <math>n</math> 個坐標求和為零（因為單位矩陣只是輔助的）。

故 <math>\mathrm{SU}(n)</math> 的秩是 <math>n - 1</math>，它的鄧肯圖由 <math>A_{n - 1}</math> 給出，有 <math>n - 1</math> 個頂點的鏈。

它的根系由 <math>n(n - 1)</math> 個根組成，生成一個 <math>n - 1</math> 歐幾里得空間。這裏，我們使用 <math>n</math> 冗餘坐標而不是 <math>n - 1</math> 坐標來強調根系的對稱（<math>n</math> 坐標之和為零）。換句話說，我們是將這個 <math>n - 1</math> 維向量空間嵌入 <math>n</math>-維中。則根由所有 <math>n(n - 1)</math> 置換 <math>(1, -1, 0, \dots, 0)</math>。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為

<math>(1, -1, 0, \dots, 0)</math>,

<math>(0, 1, -1, \dots, 0)</math>,

…,

<math>(0, 0, 0, \dots, 1, -1)</math>.

它的嘉當矩陣是

<math> \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix} </math>.

它的外爾群或考克斯特群是對稱群 <math>S_n</math>，<math>(n - 1)</math>-單形的對稱群。

廣義特殊么正群

對一個體 F，F 上廣義特殊么正群 SU(p,q;F)，F 上一個秩為 n=p+q 的向量空間上使得一個符號為 (p,q) 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性轉換組成的群。這個么正群經常稱為 F 上符號為 (p,q) 的特殊么正群。體 F 可以換為一個交換環，在這種情形向量空間換為自由模。

特別地，固定 GL(n,R) 中一個符號為 (p,q) 的埃爾米特矩陣，則所有

<math>M \in SU(p,q,R)</math>

滿足

<math>M^{*} A M = A \,</math>

<math>\det M = 1. \,</math>

經常可以見到記號 <math>SU_{p,q}</math> 略去環或體，在這種形式環或體是指 C，這給出一個典型李群。當 F=C 時，A 的標準選取是

<math>

 A
 =
 \begin{bmatrix}
   0 & 0 & i \\
   0 & I_{n-2} & 0 \\
   -i & 0 & 0
 \end{bmatrix}.

</math> 對某些維數 A 可能有更好的選擇，當限制為 C 的一個子環時有更好表現。

例子

這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度復雙曲空間上，同樣地 SL(2,Z) （射影地）作用在二維實雙曲空間上。2003年，Gábor Francsics 與彼得·拉克斯算出了這個群在 <math>HC^2</math> 上作用的基本域，參見 [1]。

另一個例子是 SU(1,1;C)，同構於 SL(2,R)。

重要子群

在物理學中，特殊么正群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊么正群的子群很重要。在大一統理論中 SU(n) 重要的子群是，對 p>1，n-p>1：

<math>

SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1). </math> 為了完整性，還有正交與辛子群：

<math>

SU(n) \supset O(n) </math>

<math>

SU(2n) \supset USp(2n). </math> 因為 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU(n) 是多個其它李群的子群：

<math>

SO(2n) \supset SU(n) </math>

<math>

USp(2n) \supset SU(n) </math>

<math>

Spin(4) = SU(2) \times SU(2) </math>（參見自旋群）

<math>

E_6 \supset SU(6) </math>

<math>

E_7 \supset SU(8) </math>

<math>

G_2 \supset SU(3) </math>（關於 E₆, E₇ 與 G₂ 參見單純李氏群）。 有同構 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最後值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群，這個關係在非相對論量子力學 2-旋量的旋轉中起着重要的作用。

相關條目

• SU(2)的表示論
• 射影特殊么正群 PSU(n)
• 埃爾米特矩陣
• 辛矩陣
• 么正群
• 酉算子
• 矩陣分解

參考文獻

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 
• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）