負數
負數（英文：Negative number），在數學上指小於0的實數，如−2、−3.2和−807.5，與正數相對。負數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在數學上通常用粗體R−或<math>\mathbb{R}^-</math>來表示。負數與0統稱非正數。
| 各式各樣的數 | ||
| 基本 | ||
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| 延伸 | ||
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| 其他 | ||
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負數的歷史[編輯]
負整數可以被認為是自然數的擴展，使得等式<math>x-y=z</math>對任意<math>x</math>和<math>y</math>都有意義。相對而言，其他數的集合都是從自然數通過逐步擴展得到的。
負數在表示小於 0 的值的時候非常有用。例如，在會計學上，它可以被用來表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。
自從漢代，中國數學家就已經了解負數和零的概念了。[1] 公元1世紀的《九章算術》說「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」[2]（這段話的大意是「減法：遇到同符號數字應相減其數值，遇到異符號數字應相加其數值，零減正數的差是負數，零減負數的差是正數。」）。以上文字裏的「無入」通常被數學歷史家認為是零的概念。
儘管中國古人首先發現並應用了負數，但卻並沒有從理性方面討論負數存在的意義和本質，這可能是文化習慣導致的。對負數精確的定義，和其根本屬性的討論，是由近代西方數學家首先完成的。[3]
西方最早在數學上使用負數的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《腳本錯誤：沒有「ilh」這個模塊。》。它的出現是為了表示負資產或債務。在很大程度上，歐洲數學家直到17世紀Template:Fact才接受負數的概念。
符號函數[編輯]
在實數上可以定義這樣一個函數<math>\sgn (x)</math>，它對正數取值為 1，負數取值為 −1，0 取值為 0。這個函數通常被稱為符號函數：
- <math>\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right. </math>
當<math>x</math>不為 0 時，則有：
- <math>\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1. </math>
這裏，<math>\left \vert x \right \vert</math>為<math>x</math>的絕對值，<math>H(x)</math>為單位階躍函數。請參見導數。
負數的四則運算[編輯]
| 口訣 | 釋義 | |||||||
| 加法 | 減法 | 乘法 | 除法 | |||||
| 被乘數 | 乘數 | 積 | 被除數 | 除數 | 商 | |||
| 正正得正 | a + (+b) = a + b | － | 正 | 正 | 正 | 正 | 正 | 正 |
| 正負得負 | a + (−b) = a − b | － | 正 | 負 | 負 | 正 | 負 | 負 |
| 負正得負 | － | a − (+b) = a − b | 負 | 正 | 負 | 負 | 正 | 負 |
| 負負得正 | － | a − (−b) = a + b | 負 | 負 | 正 | 負 | 負 | 正 |
| 兩個符號一樣 | 兩個符號不同 |
| 得正 | 得負 |
加法[編輯]
- <math> 6 + ({\color{Violet}-3}) = 6 - {\color{Orange}3} = 3 \,</math>
- <math> -2 + ({\color{Violet}-5}) = -2 - {\color{Orange}5} = -7 \,</math>
減法[編輯]
一個較大的正數減去一個較小的正數將得到一個正數
一個較小的正數減去一個較大的正數將得到一個負數：
- <math> 6 - 3 = 3 \,</math>
- <math> 4 - 6 = -2 \,</math>
- <math> 0 - 5 = -5 \,</math>
任意負數減去一個正數總得到一個負數：
- <math> -6 - 3 = - (6 + 3) = -9 \,</math>
減去一個負數相當於加上相應的正數：
- <math> 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \,</math>
- <math> (-6) - (-3) = -(6 - 3) = -3 \,</math>
乘法[編輯]
一個負數和一個正數相乘得到一個負數：<math>(-2)\times 3=-6</math>。這裏，乘法可以被看作是多次加法的重複：<math>(-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6</math>。
兩個負數相乘得到一個正數：<math>(-3)\times(-4)=12</math>。這裏，乘法不能再被看作是多次加法的重複了，而是為了使乘法滿足分配律：
- <math> \bigg[3 + (-3)\bigg] \times (-4) = 3 \times (-4) + (-3) \times (-4). \,</math>
等式的左邊為<math>0\times(-4)=0</math>。等式的右邊為<math>-12+(-3)\times(-4)</math>。為了使兩邊相等，必須要<math>(-3)\times(-4)=12</math>。
除法[編輯]
除法和乘法類似。若被除數和除數有不同的符號，結果是一個負數：
- <math> \; 8 \;\div\; (-2) = -4 \,</math>
- <math> (-10) \;\div\; 2 = -5 \,</math>
若被除數和除數有相同的符號（就算他們均為負），結果是一個正數：
- <math> (-6) \;\div\; (-3) = 6 \;\div\;3=2 \,</math>
