加法逆元

加法逆元（additive inverse）又称相反数（opposite）、反数，其定义是对于任意数<math>a</math>，存在相反数满足其与<math>a</math>的和为零（加法单位元）；<math>a</math> 的加法逆元表示为 <math>-a</math>。

在实数中，数<math>a</math>的相反数<math>-a</math>，称为其加法逆元；相对地，数<math>a</math>的倒数<math>\frac{1}{a}</math>或<math>a^{-1}</math>，则称为其乘法逆元。

一般定义

设“+”为一个交换性的二元运算，即对于所有<math>x</math>, <math>y</math>, <math>x+y=y+x</math>。若该集合中存在一个元素<math>0</math>，使得对于所有<math>x</math>, <math>x+0=0+x=x</math>，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的<math>x</math>，存在一个<math>x'</math>使得<math>x+x'=x'+x=0</math>，则称<math>x'</math>是<math>x</math>的加法逆元。

特殊情况

定义

若“+”满足结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。

证明

反证法： 设<math>x</math>有两个相异的加法逆元<math>x_1</math>、<math>x_2</math>
有<math> x = x + 0</math> 的关系。
⇒ <math>0 = x + x_1 = x + x_2 </math>
⇒ <math>x_1 = x_2</math>
产生矛盾，证讫。

例

• 向量空间：标量乘法<math>-1</math>
• 欧几里得空间：以原点为中心的反演变换