减法

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File:Subtraction01.svg
将5个桃子扣去2个，还剩3个，此时可以表达为<math>5-2 = 3</math>
算术运算
加法 (+)
<math>\scriptstyle\left.\begin{matrix}\scriptstyle\text{项 }\,+\,\text{项}\\\scriptstyle\text{加 数 }\,+\,\text{加 数}\\\scriptstyle\text{被 加 数 }\,+\,\text{加 数}\end{matrix}\right\}\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{和 }</math>
减法 (−)
<math>\scriptstyle\left.\begin{matrix}\scriptstyle\text{项 }\,-\,\text{项}\\\scriptstyle\text{被 减 数 }\,-\,\text{减 数 }\end{matrix}\right\}\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{差 }</math>
乘法 (×)
<math>\scriptstyle\left.\begin{matrix}\scriptstyle\text{因 数 }\,\times\,\text{因 数 }\\\scriptstyle\text{被 乘 数 }\,\times\,\text{乘 数 }\\\scriptstyle\text{乘 数 }\,\times\,\text{被 乘 数 }\end{matrix}\right\}\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{积 }</math>
除法 (÷)
<math>\scriptstyle\left.\begin{matrix}\scriptstyle\frac{\scriptstyle\text{被 除 数 }}{\scriptstyle\text{除 数 }}\\\scriptstyle\text{ }\\\scriptstyle\frac{\scriptstyle\text{分 子 }}{\scriptstyle\text{分 母 }}\end{matrix}\right\}\,=\,</math> <math>\begin{matrix}\scriptstyle\text{商 }\\\scriptstyle\text{比 值 }\end{matrix}</math>
模除 (mod)
<math>\scriptstyle\text{被 除 数 }\,mod\,\text{除 数}\,\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{余 数 }</math>
乘方 (^)
<math>\scriptstyle\text{底 数 }^\text{指 数 }\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{幂 }</math>
n 次方根 (√)
<math>\scriptstyle\sqrt[\text{根 指 数 }]{\scriptstyle\text{被 开 方 数 }}\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{根 }</math>
对数 (log)
<math>\scriptstyle\log_\text{底 }(\text{真 数 })\,=\,</math> <math>\scriptstyle\text{对 数 }</math>

减法（英语：subtraction、法语：soustraction）是四则运算之一。减法运算的本质，就是“逆着加法去寻找原数”。

例如：<math>{ {5}-{2} } = 3 </math> 中，已知 <math>5</math> 是 <math>2</math> 和 <math>3</math> 的和，其中一个加数是 <math>2</math> ，求另一个加数 <math>3</math> 。

其中，<math>5</math> 称为被减数，<math>2</math> 称为减数，<math>3</math> 是 <math>5</math> 和 <math>2</math> 的差。

减法遵循几个重要的规律：

减法不像加法那样符合交换律，即改变运算顺序会一同改变结果符号。它也不满足结合律，也就是说，当需要连续减去两个以上的数时，减法的执行顺序会影响结果。由于 <math>0</math> 是加法单位元，减去 <math>0</math> 不会改变一个数的值。

此外，减法在涉及相关运算（如加法和乘法）时也遵循可预测的规则。所有这些规则皆可从整数减法开始进行证明，并推广至实数、乃至更广泛的数学对象。所有遵循这些规律的通用二元运算在抽象代数中都有研究。

定义[编辑]

File:Shop placard showing 20% reduction.JPG
波尔多某商店张贴的促销广告：购买香水第二瓶打八折（即减价两成）。

算术定义[编辑]

已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，符号为“ <math>-</math> ”，结果为差。

集合论定义[编辑]

在集合论中，减法通过差集定义。给定两个集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，它们的差集 <math>A \backslash B</math> 包含所有属于 <math>A</math> 但不属于 <math>B</math> 的元素。例如：

若 <math>A = \{1,2,3\}</math>，<math>B=\{2,4\}</math>，则 <math>A \backslash B = \{1,3\}</math>。

此外，在可计算性理论中，由于减法在自然数上并非良定义，数与数之间的运算实际上是通过“截断减法”或称为monus的运算来定义的。

代数结构中的定义[编辑]

在更抽象的代数系统中（如群、环、域）：

  • 群​​：若 <math>G</math> 是一个群，减法 <math>a-b</math> 定义为 <math>a+(-b)</math>，其中 <math>-b</math> 是 <math>b</math> 的加法逆元。
  • 环与域​​：减法是加法的逆运算，满足封闭性、结合律及分配律的扩展性质。

例如，在整数环 <math>\mathbb{Z}</math> 中，减法确保对任意 <math>a,b\in Z</math> ，存在唯一的 <math>c</math> 使得 <math>a = b + c</math> 。

符号与表示[编辑]

主条目：减号

减法通常用被减数与减数之间的减号"-"来表示（中缀表示法的一种），运算结果则用等号“=”表示。例如：

<math>2 - 1 = 1</math>（2 减 1 等于 1）
<math>4 - 6 = -2</math>（4 减 6 等于 -2）

在某些情况下，即使没有出现减号，减法运算亦可“约定俗成”。例如在记账的一列数中，若下方数字以红色显示，则通常表示需要减去该列中较小的数，差值写在该行下方横线之下的位置。[1]

英语单词subtraction（减法，名词）来源于拉丁语动词“subtrahere”，而该动词本身由前缀“sub”（意为“（从）下方”）和动词“trahere”（意为“拉拽”）复合构成。[2]因此，减法的字面含义就是“从下方拉出”或“取走”。而subtrahend（减数）则由添加动名词后缀“-nd”派生（字面意义为“被拉出的事物”）。

minuend（被减数）则源于拉丁动词“minuere”（意为“减少或缩小”），表示“被缩减的事物”。[3]

性质[编辑]

恒等性质[编辑]

任何数减去 0 都等于其本身：<math>a - 0 = a</math>。

非运算性质[编辑]

  1. 非交换律​​：<math>5 - 3 \neq 3 - 5</math>
  2. 非结合律​​：<math>(10 - 3) - 2 \neq 10 - (3 - 2)</math>

不同的减法运算[编辑]

自然数减法[编辑]

自然数集上的减法运算不满足封闭性：只有当被减数大于或等于减数时，差值才是自然数。例如 <math>11</math> 减去 <math>26</math> 就无法得到自然数结果。对此有两种处理方式：

  1. 偏函数法​​：直接假定 <math>11</math> 不能减去 <math>26</math> ，化减法为偏函数
  2. 整数扩展法​​：将结果表示为负整数，即 <math>11 - 26 = -15</math>

整数减法[编辑]

File:Line Segment jaredwf.svg

想象一条长度为 <math>b</math> 的线段，左端标记为 <math>a</math> ，右端标记为 <math>c</math> 。从 <math>a</math> 点出发，向右移动 <math>b</math> 个单位即可到达 <math>c</math> 点。在数学上，这种右移通过加法运算建模：

<math>a + b = c</math>

而从 <math>c</math> 点出发，向左移动 <math>b</math> 个单位就能回到 <math>a</math> 点。这种左移则通过减法运算建模：

<math>c - b = a</math>
File:Subtraction line segment.svg

再想象一条线段，这条线段则标有数字 <math>1</math> 、 <math>2</math> 、 <math>3</math> 。现在从位置 <math>3</math> 出发，向左移动 <math>0</math> 个单位，仍停留在 <math>3</math> ，因此 <math>3 - 0 = 3</math> ；向左移动 <math>2</math> 个单位，则到达位置 <math>1</math> ，因此 <math>3 - 2 = 1</math>。

此线段的局限在于，无以描述从位置 <math>3</math> 向左移动 <math>3</math> 个单位后的情况，需延长数轴（即沿用整数数轴）方可。

分数减法[编辑]

分数减法类似自然数和整数的减法，但要求分母相同。若两分数分母不同，可用通分实现：

<math>\frac a b - \frac c d = \frac{~{}ad - bc }{bd}</math>

实数减法[编辑]

实数域可通过仅定义两个二元运算（加法与乘法）及两个一元运算（求加法逆元与乘法逆元）来构建。此时，从被减数中减去减数的实数运算，可定义为被减数与该减数加法逆元的加法运算。例如：

<math>3 - \pi = 3 + (-\pi)</math>

若不依赖这些一元运算，亦可将减法与除法作为基本二元运算来处理。

抽象代数减法[编辑]

向量减法[编辑]

更多信息：向量

在线性代数中，向量空间是一个允许向量相加及缩放的代数结构。所有实数的有序对组成的集合就是一个常见的向量空间：有序对 (a, b) 被解释为欧几里得平面上从原点到由 (a, b) 表示的点的向量。两个向量的差是通过将对应的坐标相减完成的：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)。

矩阵减法[编辑]

更多信息：矩阵

大小相同的两个矩阵可以相减。两个 m × n 矩阵 A 和 B 的差也是一个 m × n 矩阵，用 A - B 表示，由对应元素相加得到：


<math>\begin{align} \mathbf{A} - \mathbf{B} & = \begin{bmatrix} 

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\

\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 

b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\

\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 

a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\
a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn} \\

\end{bmatrix} \end{align}</math>

基于群论的减法[编辑]

设 <math>(G, +)</math> 为一个阿贝尔群。我们在 <math>G</math> 中定义一个新的内合成法则，称为“减法”并记作"−"，其定义为：

<math>x - y = x + (-y)</math>

其中 <math>-y</math> 表示元素 <math>y</math> 的逆元。

需要注意的是，既用"-"表示元素 <math>y</math> 的逆元 <math>-y</math> ，又表示二元运算 <math>x-y</math> ，属于符号的滥用。

一般的减法运算性质在此群论框架下依然成立。

范畴论中的减法[编辑]

在范畴论中，减法并没有统一的直接对应物，但可以借助态射、核（kernel）、余核（cokernel）、差分对象​​等抽象概念来表达类似于“减法”的关系。

二进制减法[编辑]

在计算机科学和数字逻辑中，减法是在二进制数​​之间进行的，通常使用补码方法来简化运算，详见下文“计算机算法”。

运算方法[编辑]

竖式减法[编辑]

主条目：竖式 § 减法

从右向左相减的方法[编辑]

美国竖式法[编辑]

在美国所谓的“传统教学”中，学生在一年级末（或二年级期间）会学习一种针对多位整数的特定竖式减法运算，该流程会在四年级或五年级时扩展至包含小数的分数表示形式。目前几乎所有美国学校都教授一种使用借位（或称为重组，即分解算法）的竖式减法，并配合一套被称为"辅助记号"（crutches）的标记系统。[4][5] 虽可能不愿承认，中国国内的主流算法却正是这种“美帝算法”。

用此法计算减法时，数从右向左逐位相减。具体操作步骤如下：

  1. 基本减法操作​​：用被减数（上方数字）的每一位减去减数（下方数字）对应位置的数字。
  2. 借位处理​​：当被减数的某一位数字小于减数对应位数字时（即"上方数字太小"），则：
    1. 先向该位"借10"（即在当前位数字上加10）
    2. 同时从其左边相邻的高位数字中"减去1"（即高位数字减1，相当于借出1个十）
  3. 连续运算​​：完成当前位的减法后，继续处理下一数位，根据需要重复借位操作，直至完成所有数位的减法运算。

下面以计算 <math>753 - 491</math> 为例：

美国竖式法还有一种变体，名为“先借位法”，其核心是：​​在进行任何减法运算之前，先完成所有的借位操作​​。[6]

下面以计算 <math>751 - 493</math> 为例：

欧洲竖式法[编辑]

部分欧洲学校采用一种称为欧洲法（或奥地利法）的竖式减法。此法不涉及借位运算，但会根据不同国家的习惯使用各种辅助记号（帮助记忆的标记）。[7][8]

下面以计算 <math>753 - 491</math> 为例：

从左向右相减的方法[编辑]

补数法的变体[编辑]

减法运算也可以从左到右进行。这种不常见的方法实际上是补数法的一种变体，其特点是在精确计算差值之前，先处理所有的借位（进位）问题。由于该方法既不需要记录借位，也不需要记忆借位情况，因此不仅相对不易出现粗心错误，计算速度也非常快，甚至适用于心算。

下面以计算 <math>753 - 491</math> 为例：

分步差减法[编辑]

分步差减法与其他竖式减法的相异在于：它既不需要借位，也不需要进位。取而代之的是，根据被减数与减数的大小关系，在相应数位上标注正号或负号——若被减数大于减数则记为正，反之则记为负。最终，将所有数位上的分步差值（正负结果）相加，所得总和即为最终的差值结果。[9]

下面以计算 <math>753 - 491</math> 为例：

非竖式减法[编辑]

递增进数法[编辑]

不同于逐位计算差值，递增进数法通过计算减数与被减数之间的数值增量来求得差值。[10]

示例​​：计算 <math>1234 - 567</math> 可通过以下步骤：

<math>567 + 3 = 570</math>
<math>570 + 30 = 600</math>
<math>600 + 400 = 1000</math>
<math>1000 + 234 = 1234</math>

将各步骤的递增值相加即得总差值：<math>3 + 30 + 400 + 234 = 667</math>

分步拆解法[编辑]

另一种适用于心算的方法是将减法运算拆分为多个小步骤进行计算。[11]

示例​​：计算 <math>1234 - 567</math> 可通过以下步骤：

<math>1234 -500 = 734</math>
<math>734 - 60 = 674</math>
<math>674 - 7 = 667</math>

恒等变换法[编辑]

该方法基于"对被减数和减数同时加减相同数值不改变差值结果"的数学原理，通过调整减数至零值来简化计算。[12]

示例​​：计算 <math>1234 - 567</math> 可通过以下步骤：

<math>1234 - 567</math>
<math>= 1237 - 570</math>
<math>= 1267 - 600</math>
<math>= 667</math>

参考资料[编辑]

  1. ^ Cole (1921)，第145页.
  2. ^ Subtraction. 牛津英语词典 (第三版). 牛津大学出版社. 2005-09 （English）. 
  3. ^ Minuend. 牛津英语词典 (第三版). 牛津大学出版社. 2005-09 （English）. 
  4. ^ Klapper, Paul. The Teaching of Arithmetic: A Manual for Teachers. 1916: 80– [2016-03-11]. 
  5. ^ Susan Ross and Mary Pratt-Cotter. 2000. "Subtraction in the United States: An Historical Perspective," The Mathematics Educator 8(1):4–11. p. 8: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]."
  6. ^ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互联网档案馆的存档，存档日期2014-02-25. Subtraction: Trade First
  7. ^ Klapper 1916, pp. 177–.
  8. ^ David Eugene Smith. The Teaching of Arithmetic. Ginn. 1913: 77– [2016-03-11]. 
  9. ^ Partial-Differences Subtraction 互联网档案馆的存档，存档日期2014-06-23.; The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互联网档案馆的存档，存档日期2014-02-25. Subtraction: Partial Differences
  10. ^ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互联网档案馆的存档，存档日期2014-02-25. Subtraction: Counting Up
  11. ^ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics 互联网档案馆的存档，存档日期2014-02-25. Subtraction: Left to Right Subtraction
  12. ^ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Same Change Rule
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