模

File:Disambig gray.svg此條目的主題是抽象代數中的概念。關於「模」的其他含義，請見「模 (消歧義)」。

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裏不再要求向量空間裏的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。

因此，模同向量空間一樣是加法交換群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，並且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。

模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，並廣泛地應用於代數幾何和代數拓撲中。

定義

假設 <math>R</math> 是環(ring)且 <math>1_R \in R</math>， <math>1_R</math> 是其乘法運算的單位元素。左R-模包括一個交換群 <math>(M, +)</math> ，以及一個映射(或運算)

<math>\cdot : R \times M \rightarrow M</math>

(該運算叫做純量乘法或數積，對 <math>r \in R</math> 及 <math>x \in M</math> ，此運算的值 <math>\cdot (r, x)</math> 會記作 <math>rx</math> 或是 <math>r \cdot x</math>) ，並且滿足以下條件

對所有 <math>r, s \in R</math> ， <math>x, y \in M</math>

1. <math> ( r \cdot s ) \cdot x = r \cdot ( s \cdot x ) </math>
2. <math> r \cdot ( x + y ) = r \cdot x + r \cdot y </math>
3. <math> ( r + s ) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x </math>
4. <math> 1_R \cdot x = x .</math>

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素 <math>1_R</math> ，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元素( <math>1_R</math> )的左模"。

左R-模 <math>M</math> 記作 <math>_RM</math> ，類似的右R-模 <math>M</math> 記作 <math>M_R</math> 。

右R-模 <math>M</math> 或 <math>M_R</math> 與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其純量乘法是 <math>\cdot : M \times R \rightarrow M</math> 。在左R-模的定義中，環的元素 <math>r</math> 和 <math>s</math> 是在 <math>M</math> 的元素 <math>x</math> 的左邊。若 <math>R</math> 是可交換環，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。

若 <math>R</math> 是一個體，則根據上述定義，R-模滿足R-向量空間的定義。因此模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但一般模不存在基底。

例子

• 所有交換群 <math>M</math> 是一個在整數環 <math>\mathbb{Z}</math> 上的模，對 <math>n \in \mathbb{Z}</math> 及 <math>x \in M</math>，如果 <math>n > 0</math> ，其純量乘法定義為是 <math>nx = x + x + \dots + x</math> （ <math>n</math> 個 <math>x</math> 相加），如果 <math>n = 0</math> ， <math>0x = x</math> ，對 <math>n < 0</math> ， <math>(-n)x = -(nx)</math> 。
• 若 <math>R</math> 是一個環而 <math>n</math> 是一個自然數，則 <math>R^n</math> 是一個R-模。
• 若 <math>X</math> 是一個光滑流形，則所有由 <math>X</math> 映射至實數的光滑函數 <math>C^\infty(X)</math> 是一個環 <math>R</math> 。在 <math>X</math> 上的所有向量場組成一個R-模。
• 所有 <math>n \times n</math> 實數矩陣 <math>A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})</math> 與矩陣加法和矩陣乘法組成一個環 <math>R</math> 。 歐幾里得空間 <math>\mathbb{R}^n</math> 是一個左R-模，當中矩陣 <math>A</math> 與向量 <math>v \in \mathbb{R}^n</math> 之間的純量乘法就是矩陣乘法 <math>Av</math> 。
• 若 <math>R</math> 是一個環而 <math>I</math> 是其中一個 左理想 ，則 <math>I</math> 是一個左R-模。

子模及同態

假設 <math>M</math> 是左 <math>R</math> -模， <math>N</math> 是 <math>M</math> 的子集。如果對於所有 <math>n \in N</math> 及 <math>r \in R</math> ，乘積 <math>rn \in N</math> （對右模，則考慮 <math>nr</math> ），則 <math>N</math> 是 <math>_RM</math> 的子模（或更準確地，R-子集）。

令 <math>M</math> 和 <math>N</math> 為兩個左R-模， <math>f</math> 為它們之間的一個映射， <math>f: M \rightarrow N</math>。若對所有 <math>m, n \in M</math> 及 <math>r, s \in R</math> ， <math>f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)</math> ，則<math>f</math> 為R-模同態。與其他類型的同態一樣，模同態保存了模的結構。

其他定義及表達法

若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作End_Z(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至End_Z(M)之同態。

如此的環同態R → End_Z(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的，當且僅當R → End_Z(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。