乘法
| 算術運算 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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乘法是四則運算之一。乘法運算的本質，就是「同類累加的簡寫形式」。
例如：
- <math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ 個 b}} .</math>
<math>a</math> 和 <math>b</math> 都是本式的因數（或稱約數），其運算結果稱為積。
<math>a\times b</math>可以唸作「a 乘 b」或「a 乘以 b」。唸作「a 乘 b」時 <math>a</math> 是乘數，<math>b</math> 是被乘數，即「<math>a</math>個<math>b</math>」。唸作「a 乘以 b」則相反，表示「<math>a</math>的<math>b</math>倍」。這種雙意並非中文或者英文特有。乘數和被乘數的交替並不會影響乘法的結果。[1][2]
乘法運算亦有其它形象理解：對於整數乘法，可表現為將物件排列成矩形陣列；對於實數乘法，則可解釋為計算矩形面積。同樣地，運算結果不受邊長測量順序的影響。
在乘法基本概念的基礎上，序列乘積、向量乘法、複數及矩陣運算等均對其進行了概念擴充。這些更進階的數學結構會以各自方式影響乘法的基本性質——例如矩陣乘法和某些向量乘法會呈現非交換性，複數乘法則會改變複數的符號。
引言[編輯]
首先，進入正題前，我們不妨來看兩個生活中的例子：
- 買5個單價為3圓的雪糕：由<math>5\times 3 = 15</math>可得，需要支付15圓。
- 要搭一個3層高、每層4塊積木的小塔：由<math>3\times 4 = 12</math>可得，需要12塊積木。
其次，數學和物理存在許多「累加關係」：
- 已知勻速直線運動狀態下，某物體行進速度為 <math>v</math> ，所用時間為 <math>t</math> ，可得累計距離 <math>d=v\times t</math> ；
- 已知一個物體的密度為 <math>\rho</math> （假設密度均勻），體積為 <math>V</math> ，可得其質量 <math>m = \rho \times V</math> ；
......
可見，在數學，尤其是在基本算術中，乘法是加法的「快捷版」。
定義[編輯]
基本定義[編輯]
乘法運算，指通過特定法則將兩個或多個數結合生成積的運算過程。其核心內涵包括：
- 同類累加的簡寫形式：表示將相同值的數進行連續疊加的運算（如 <math>3\times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math> ）
- 比例關係的量化表達：當乘數非整數時，可表示為原數的分數（小數）倍（如 <math>3\times 0.5</math> 表示 <math>3</math> 的一半，<math>4\times \dfrac1{3}</math> 表示 <math>4</math> 的三分之一）
- 維度擴充的數學工具：在幾何學中，用於計算面積（長 <math>\times</math> 寬）、體積（長 <math>\times</math> 寬 <math>\times</math> 高）等空間度量
符號與表示[編輯]
乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示「五乘以二」：
- <math>5 \times 2</math>
- <math>5 \cdot 2</math>
- <math>5 * 2</math>
- <math>(5)(2)</math>
古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。
以「<math>\times</math>」表示乘法，是由奧特雷德於1618年最先引入，也是現在最流行的寫法。在電腦領域，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。
以「<math>\cdot</math>」表示乘法，如今已成為美國[3][4]、德國、法國等國家[5]的標準。其最早由托馬斯·哈里奧特於1631年出版的著作使用，但令這種用法影響深遠的人是萊布尼茲。
因為星號「<math>*</math>」是鍵盤必備的符號，電腦常用其表示乘號，這種用法起源於FORTRAN語言。
代數中，為方便書寫，乘號常被略去（如 <math>5x</math> 和 <math>xy</math> ）。但如果變量多於一個字母，則易令人混淆。同時如果只有數字，乘號則不應略去，如 <math>5 \times 2</math> 不會表示成 <math>52</math> 。
累乘則用大寫希臘字母 <math>\Pi</math>（Pi）表示：
- <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}</math>
性質[編輯]
乘法運算的數學性質在不同定義和數系下具有多樣性，以下是主要分類及詳細說明。
基本運算律[編輯]
單位元素、零元素與反元素性質[編輯]
- 乘法單位律：任何數乘以 <math>1</math> ，都會等於該數本身，即<math>1x = x</math>。此律可延伸至多項式中的常數項。
- 零元素性質：任何數乘以 <math>0</math> ，即是甚麼也沒做過，結果為零，即<math>0x = 0</math>。同樣地，多個因數中若含 <math>0</math> ，積必為 <math>0</math> 。
- 反元素性質：非零數 <math>a</math> 的反元素（亦為其倒數）為 <math>\dfrac 1{a}</math> ，滿足 <math>a\times \dfrac 1{a} = 1</math> 。
特殊數系下的性質[編輯]
實數與複數除法[編輯]
矩陣乘法[編輯]
模運算[編輯]
在模 <math>n</math> 下，乘法反元素存在當且僅當數與 <math>n</math> 互質（如模質數時所有非零數均有反元素）。
不同的乘法運算[編輯]
兩個數的乘法運算或積（這兩個數可以是自然數、整數、分數、實數、複數、四元數等）的數學定義，相似而又各有特性。
自然數乘法[編輯]
兩個自然數 <math>m,n\in\mathbb{N}</math> ，其乘積為：
- <math>mn = nm = \sum_{k=1}^n m = \sum_{k=1}^m n</math>
這是將該整數自身重複相加若干次的簡寫法。換言之：
- <math>mn = nm = \underbrace{m+m+m+ \cdots +m}_{n\text {個 m}} = \underbrace{n+n+n+ \cdots +n}_{m\text {個 n}}</math>
長遠來看，將乘法視為重複加法並不高效。因此，數學家歸納了從 <math>1</math> 到 <math>9</math> 的乘法結果，即九九乘數表。
多個自然數相乘時，我們使用括號標明運算順序。為避免過多括號，規定以下優先級規則：乘法始終優先於加法。例如在表達式 <math>4 + 5\times 2</math> 中，應理解為 <math>4 + (5\times 2) = 4+10=14</math> ，而非 <math>(4+5)\times 2 = 9\times 2 = 18</math> 。
當<math>x</math>是量，<math>y</math>是自然數時，定義乘法遞歸如下：
- <math>0x = 0</math>
- <math>xy = x + x(y - 1)</math>
整數乘法[編輯]
整數乘法推廣自然數乘法至負數，符號規則為：同號得正，異號得負，絕對值相乘。
分數（小數）乘法[編輯]
兩個分數 <math>\frac{z}{n},\frac{z'}{n'}</math> 作乘法運算時，分子與分子相乘，分母與分母相乘：
- <math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'} </math>
當且僅當 <math> n,n'\neq 0 </math> 時成立。
兩個小數作乘法運算時，可利用乘法交換律的特性進行計算。
例如，計算 <math>43.1</math> 乘以 <math>1.215</math> 時：
- <math>\begin{align} 43.1 \times 1.215&= \left(431\times \frac 1{10}\right) \times \left(1\;215\times \frac 1{1\;000}\right)\\
&= (431 \times 1\;215) \times \left(\frac1{10}\times \frac1{1\;000}\right)\\ &= (431 \times 1\;215) \times \frac1{10\;000}\\ &= \frac {523\;665}{10\;000}\\ &= 52.3665\end{align}</math>
可見，兩個小數作乘法運算時，先忽略小數點，計算兩數小數點後數字的位數之和，將兩數視為整數相乘，最後在結果中從右往左數出與總位數相同的位數，並放置小數點。
又如，計算 <math>3.15</math> 乘以 <math>1.2</math> 時：
- 先計算整數部分相乘：<math> 315\times 12 = 3780</math>
- 再將小數點向左移動 <math>3</math> 位：<math>3780 \Rightarrow 3.780</math>（末尾的 <math>0</math> 可省略，寫作 <math>3.78</math>）
實數乘法[編輯]
實數乘法是前文乘法的推廣，性質也相同。其核心在於：每個實數都是某有理數集的上確界。特別地，每個正實數是其無盡小数展開式截斷序列的上確界，例如 <math>\pi</math> 是集合 <math>\{3,\; 3.1,\; 3.14,\; 3.141,\ldots\}</math> 的上確界。
實數的一個基本性質是：有理逼近與算術運算（特別是乘法）相容。這意味着，若正實數 <math>a</math> 和 <math>b</math> 分別表示為集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> 的上確界（即 <math>a=\sup_{x\in A} x</math> ， <math>b=\sup_{y\in B} y</math> ），則兩數乘積 <math>a\cdot b</math> 等於所有 <math>x\in A</math> 與 <math>y\in B</math> 的乘積項的上確界（即 <math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y</math> ）。具體而言，兩個正實數的乘積等於其十進制展開式逐項積序列的上確界。
對於涉及負實數的乘法運算，可通過符號法則簡化處理：正負號的變化將上確界轉化為下確界。很多人都通過柯西序列構造實數，因為這種方法無需考慮四種可能的符號組合情況，從而簡化了運算規則的推導過程。
複數乘法[編輯]
複數乘法可通過分配律和虛數單位性質 <math> i^2=-1</math> 進行運算。具體地，兩個複數 <math>(a + b\, i)</math> 與 <math>(c + d\, i)</math> 作乘法運算時，展開過程為：
- <math>\begin{align}
(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) &= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\ &= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i
\end{align}</math>
其中 <math>i^2</math> 替換為 <math>-1</math> 後，實部與虛部分別合併。
從幾何視角理解，複數可表示為極坐標形式：
- <math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math>
- <math>c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) + i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi}</math>
- <math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
其幾何意義在於模長相乘（ <math>r\cdot s</math> ）、輻角相加（ <math>\varphi + \psi</math> ）。
四元數乘法[編輯]
基於集合論的乘法[編輯]
非負整數的乘法可通過集合論中的基數概念或皮亞諾公理進行定義。基數理論通過集合的勢（即集合元素的數量）定義乘法，例如，兩個有限集合的笛卡兒積的勢等於各自勢的乘積。而皮亞諾公理體系則通過自然數的遞歸定義實現乘法運算：設非負整數表示為自然數，其乘法可歸納定義為：
- 基例：對任意非負整數 <math>a</math> ，有 <math>a\times 0 = 0</math> ；
- 遞推規則：對任意非負整數 <math>a</math> 、<math>b</math> ，有 <math>a\times {(b+1)} = a\times b + a</math> 。
此定義通過數學歸納法可證明滿足乘法結合律、交換律等基本性質。
對於任意整數的乘法，需在自然數乘法基礎上引入符號規則。例如，負整數乘法定義為：若 <math>a</math> 、<math>b</math> 為自然數，則 <math>{(-a)}\times {(-b)} = a\times b</math> ，而 <math>{(-a)}\times b = -{(a\times b)}</math> 。這一擴充保持了乘法運算的代數結構一致性。
有理數乘法則通過分數形式定義：若 <math>\dfrac ab</math> 與 <math>\dfrac cd</math> 為最簡分數（ <math>b</math> 、<math>d\neq 0</math> ），則其乘積為 <math>\dfrac{ac}{bd}</math> ，分母通過集合論中的笛卡爾積構造，分子通過自然數乘法定義。此過程需驗證運算的封閉性與唯一性，例如通過交叉相乘消去公約數，確保結果仍為最簡分數。
實數乘法的定義依賴於有理數乘法的完備性。通過戴德金分割或柯西序列構造實數時，乘法運算被定義為極限運算：若 <math>\{a_n\}</math> 和 <math>\{b_n\}</math> 為收斂的有理數序列，則實數乘積定義為 <math>\lim (a_n\times b_n)</math> 。此定義需滿足乘法與極限運算的交換性，並通過 <math>\epsilon - \delta</math> 語言嚴格證明其合理性。
基於群論的乘法[編輯]
在群論中，若一個集合在乘法運算下滿足封閉性、結合律、存在單位元素且每個元素均有反元素，則稱其構成群結構。這些公理構成了群的定義基礎。
以非零有理數集為例，其乘法運算滿足群的所有條件：單位元素為1（不同於加法群的單位元素0），每個非零有理數均存在乘法反元素，且乘法運算封閉（因為兩個非零有理數相乘仍為非零有理數）。但需注意的是，零必須被排除，因其乘法反元素不存在。此例中的群為阿貝爾群，但群論中並非所有乘法群均為阿貝爾群。
考慮可逆方陣群：給定域上同維數的可逆矩陣集合，其乘法運算滿足封閉性（矩陣相乘仍為同維可逆矩陣）、結合律、單位矩陣作為單位元素，且每個矩陣均有逆矩陣。然而，矩陣乘法不滿足交換律（如 <math>{AB}\neq {BA}</math> ），因此該群為非阿貝爾群。
即使排除零元素，整數集在乘法下也不構成群。原因在於除 <math>1</math> 和 <math>-1</math> 外，其他整數均無乘法反元素。這一特性凸顯了乘法群對反元素存在與否的嚴格要求。
群的乘號通常表示為點乘（<math>\cdot</math>）或直接省略不寫。在描述群時，點乘符號常用於明確運算，例如非零有理數乘法群可記為（ <math>\mathbb{Q} \{0\}, \cdot</math> ）。這種符號體系與加法群（如（ <math>\mathbb{Z}, +</math> ））形成對比，體現了運算類型的差異。
運算方法[編輯]
歷史上的演算法[編輯]
迄今為止發現的最早的乘法運算，是可追溯至舊石器時代初期的伊尚戈骨上的刻痕。劃痕可能是計數符號，也可能只是為了方便抓握，或有其他非數學的目的。[6]
古埃及人採用連續加倍法進行整數和分數的乘法運算，這一方法在《萊因德數學紙草書》中有詳細記載。[7]例如，計算 <math>13\times 21</math> 時，通過將<math>21</math>依次加倍三次得到<math>42</math>、<math>84</math>、<math>168</math>，再根據加倍序列中的對應項，得出 <math>{(1 + 4 + 8)}\times 21 = 273</math> 。
巴比倫人使用六十進制系統，其乘法運算與現代十進制類似，但因 <math>60\times 60 = 3600</math> 種組合過多，他們通過製作包含前<math>20</math>個基數倍數的乘數表（如 <math>n, 2n, \ldots, 20n</math> 及 <math>30n, 40n, 50n</math> ）來簡化計算，如 <math>53n</math> 可通過 <math>50n + 3n</math> 的組合快速得出。
古希臘人以幾何圖形（如矩形）表示乘法，體現「乘積即面積」的思想。歐幾里得更是在《幾何原本》中用幾何方法證明乘法分配律。
中國古代擁有史上最早、最詳細的十進制位值制乘法規則，其首見於南北朝時期的孫子算經。孫子乘法的核心，是通過縱橫排列的算籌模擬位值運算，如計算 <math>49\times 36</math> 時，先以算籌擺出 <math>49</math> 和 <math>36</math> ，再按「九九表」逐位相乘並累加，終得 <math>1764</math> 。這種演算法在9世紀傳至中東，13世紀又譯成拉丁文而流行於歐洲。至於九九乘數表，則在戰國時期已成熟應用[8]，其採用「小九九」形式，從「九九八十一」到「一一如一」，比古埃及的累加法效率提升數十倍。
阿拉伯穆斯林於9世紀引入印度數字和位值制，結合阿拉伯語符號形成計算體系，推動乘法運算標準化。而數學家花拉子米在接納中國的孫子乘法後，在《代數學》中將乘法與方程系統化結合，提出「還原與對消」法，將乘法納入代數運算框架，影響歐洲數學發展。
印度古代的乘法運算亦有發展。7世紀，數學家婆羅摩笈多提出「交叉相乘法」，即 <math>(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd</math> ，簡化多位數乘法步驟。例如計算 <math>{123}\times {456}</math> 時，通過分項相乘再求和，減少重複計算。12世紀，印度文獻中出現類似中國古代「鋪地錦」的圖形化乘法，通過格線段交叉點計數得出結果，後經阿拉伯傳入歐洲。「納皮爾的骨頭」便是借鑑「鋪地錦」的靈感產生的。
現代演算法[編輯]
現代基於印度-阿拉伯數字系統的乘法，最早同樣由婆羅摩笈多系統闡述。他在7世紀著作《婆羅摩修正體系》中完整定義了加、減、乘、除四則運算的規則，其乘法體系包含多種演算法，現代豎式乘法即源於此。此演算法通過花拉子米的著作《印度數字算術》於9世紀初傳入阿拉伯世界，其《代數學》系統整合了印度數字與運算規則。13世紀，意大利數學家斐波那契在《計算之書》中推廣此法，最終使印度-阿拉伯數字系統取代羅馬數字成為歐洲主流。[9]
關於電腦的特別演算法，以及其它現代運演算法，詳見乘法演算法。
其它演算法[編輯]
用手指算乘法[編輯]
除了加法，在有限範圍內，乘法也可以用手指完成。為此，兩個因數需處於同一十位半區，也就是說，兩者要麼均以 <math>1</math> 至 <math>5</math> 結尾，要麼均以 <math>6</math> 至 <math>0</math> 結尾。
對於因數以 <math>1</math> 至 <math>5</math> 結尾的情況：
- 首先為手指編號：從小指開始，依次標記為 <math>10\cdot {(d-1)}+1</math> 至拇指為 <math>10\cdot {(d-1)}+5</math> （其中 <math>d</math> 表示對應數的十位，如第二位為 <math>1</math> 時，對應 <math>11</math> 至 <math>15</math> ）；
- 對齊兩個因數的手指後，數出下方手指總數（包括對齊的手指），將其乘以 <math>d\cdot 10</math> ；
- 計算左右手下方手指（不包含對齊的手指）的乘積；
- 最後，加上常數項 <math>{d^2}\cdot 100</math> ，結果即為所求。
對於因數以 <math>6</math> 至 <math>0</math> 結尾的情況：
- 類似地，從小指開始，依次標記為 <math>10\cdot {(d-1)}+6</math> 至拇指為 <math>10\cdot d</math> （其中 <math>d</math> 表示對應數的十位，如第二位為 <math>1</math> 時，對應 <math>16</math> 至 <math>20</math> ）；
- 對齊兩個因數的手指後，數出下方手指總數（包括對齊的手指），將其乘以 <math>d\cdot 10</math> （同上）；
- 計算左右手上方手指（不包含對齊的手指）的乘積（同上）；
- 最後，加上常數項 <math>d\cdot {(d-1)}\cdot 100</math> ，結果即為所求。
以 <math>7\times 8</math> 為例： <math>7</math> 和 <math>8</math> 均以 <math>6</math> 至 <math>0</math> 結尾，而 <math>d = 1</math> 。對齊手指後，下方手指有 <math>5</math> 根，乘以 <math>1\times 10 = 10</math> 得 <math>50</math> ；上方手指分別為 <math>3</math> 根和 <math>2</math> 根，積為 <math>3\times 2 = 6</math> ；加法常數項 <math>{(1-1)}\cdot 1\cdot 100 = 0</math>，總和為 <math>50 + 6 + 0 = 56</math> 。
再如 <math>24\times 22</math> ： <math>24</math> 和 <math>22</math> 均以 <math>1</math> 至 <math>5</math> 結尾，而 <math>d = 2</math> 。對齊手指後，下方手指有 <math>6</math> 根，乘以 <math>2\times 10 = 20</math> 得到 <math>120</math> ；下方手指分別為 <math>4</math> 根和 <math>2</math> 根，積為 <math>4\times 2 = 8</math> ；加法常數項 <math>{2^2}\cdot 100 = 400</math> ，總和為 <math>120 + 8 + 400 = 528</math> 。
此方法尤其適用於快速心算平方數。對於不同十位或十位半區的因數，可通過分解為和的形式（如 <math>{(a+x)}\cdot {(a+y)}</math> ）應用該技巧。其數學原理基於多項式展開：
- <math> (a+x) \cdot (a+y) = a^2 + (x+y) \cdot a + x \cdot y</math>
尺規作圖法[編輯]
從相交弦定理出發的尺規法[編輯]
利用相交弦定理算乘法
如圖1所示，過點 <math>O</math> 作一直線，分別在 <math>O</math> 點兩側截取長度為 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的線段，得點 <math>A</math> 和 <math>B</math> 。再從 <math>O</math> 出發，沿另一方向作射線，截取單位長度 <math>1</math> ，得點 <math>E</math> 。過 <math>A</math> 、<math>B</math> 、<math>E</math> 三點作外接圓，該圓與第二條射線的交點 <math>C</math> 滿足相交弦定理：
- <math>a\cdot b = \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \underbrace{\overline{OE}}_{=1} \cdot \,\overline{OC}</math>
- <math>\overline{OE} = 1 \Longrightarrow \overline{OC} = a\cdot b</math>
此法通過構造三角形外接圓，將乘法轉化為幾何長度的投影關係。
從割線定理出發的尺規法[編輯]
利用割線定理算乘法
如圖2所示，設圓外一點 <math>O</math> ，沿同一方向截取長度為 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的線段，得點 <math>A</math> 和 <math>B</math> 。過 <math>O</math> 作與 <math>BO</math> 成任意角 <math>\alpha</math> 的射線，在該射線上截取單位長度 <math>1</math> ，得點 <math>C</math> 。作 <math>AB</math> 和 <math>AC</math> 的垂直平分線以確定圓心，過 <math>A</math> 、 <math>B</math> 、 <math>C</math> 三點作外接圓，該圓與射線交於點 <math>D</math> 。根據割線定理：
- <math>a\cdot b = \overline{OA} \cdot \overline{OB} = {\overline{OC}} \cdot\,\overline{OD}</math>
通過調整射線角度 <math>\alpha</math> ，可利用相似三角形關係將乘積轉化為圓外一點到交點的距離。
從相似三角形出發的尺規法[編輯]
利用相似三角形算乘法
如圖3所示，在射線 <math>A</math> 上截取單位長度 <math>1</math> 和長度 <math>b</math> ，得點 <math>E</math> 和 <math>B</math> ，從 <math>E</math> 出發，沿另一方向截取長度 <math>a</math> ，得點 <math>C</math> 。過 <math>C</math> 作與 <math>AB</math> 平行的直線，與過 <math>A</math> 的射線交於點 <math>D</math> 。由相似三角形關係可得：
- <math>\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\Longrightarrow \overline{BD} = a\cdot b</math>
此法通過構造平行線與相似三角形，將乘法運算轉化為幾何比例問題。
參考[編輯]
- ↑ Devlin, Keith. What Exactly is Multiplication?. Mathematical Association of America. January 2011 [May 14, 2017]. （原始內容存檔於May 27, 2017）.
With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first)
- ↑ Devlin, Keith. What exactly is multiplication?. profkeithdevlin.org. January 2011 [12 December 2024]. （原始內容存檔於12 December 2024）.
- ↑ Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. John Wiley & Sons. 2013: 101. ISBN 978-1-118-48700-6.
- ↑ Klose, Orval. The Number Systems and Operations of Arithmetic. Pergamon Press. 1966: 39. ISBN 978-1-4831-3709-4.
- ↑ Humez, Alexander; Humez, Nicholas. On the Dot: The Speck That Changed the World. Oxford University Press. 2 October 2008: 103. ISBN 978-0-19-971718-7.
- ↑ Pletser, Vladimir. Does the Ishango Bone Indicate Knowledge of the Base 12? An Interpretation of a Prehistoric Discovery, the First Mathematical Tool of Humankind. 2012-04-04. arXiv:1204.1019 可免費查閱 [math.HO].
- ↑ Peasant Multiplication. cut-the-knot.org. [2021-12-29].
- ↑ Qiu, Jane. Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips. Nature. 7 January 2014 [22 January 2014]. S2CID 130132289. doi:10.1038/nature.2014.14482 可免費查閱. （原始內容存檔於22 January 2014）.
- ↑ Bernhard, Adrienne. How modern mathematics emerged from a lost Islamic library. bbc.com. [2022-04-22] （English）.
