简谐运动

简谐运动，或称简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且物体总是朝平衡位置移动。简谐运动时产生的振荡可以用正弦曲线来表示，并且如果不受摩擦或能量耗散的影响，振荡将无限持续下去。

如果用<math>F</math>表示物体受到的回复力，用<math>x</math>表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律，<math>F</math>和<math>x</math>成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

<math>F=-kx</math>

式中的<math>k</math>是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律“<math>F=ma</math>”当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系统的机械能守恒。

动力学方程

File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif

同一简谐运动在实空间和相空间的不同显示。轨道是周期性的。（为使两图一致，这里的速度轴和位置轴与标准惯例相反）

对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到

<math>F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x</math>

回复力又可表示为<math>F=-kx</math>

所以有<math>\ddot x+\frac{k}{m}x=0</math>

求解上述方程，得到的解含有正弦函数

<math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)</math>，其中

<math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, </math>

<math> A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, </math>

<math> \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right), </math>

<math>c_1</math>，<math>c_2</math>是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：<math>A</math>是振幅，<math>\omega = 2\pi f</math>是角频率， 加速度可以作为时间的函数得到

<math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi)</math>

<math>v_{max}=\omega A</math>（在平衡位置）

<math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi)</math>

<math>a_{max}=\omega^2 A</math>（在最大位移处）

加速度也可以通过位移的函数得到

<math> a(x) = -\omega^2 x\!</math>。

因为 <math>\omega = 2 \pi f</math>，

<math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}</math>，

又因为周期 <math>T = \frac{1}{f}</math>，所以：<math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>。

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。

线性回复力

在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

弹簧

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧弹力系数和振子质量有关，与振幅大小无关。

振幅、周期和频率

1.振幅

振幅<math>A</math>代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于<math>\sqrt{E}</math>，即它的平方正比于系统的机械能E。

2.角频率

角频率：<math>\omega=2 \pi f</math>, 频率f为周期T的倒数。

其中<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>。推导过程：

<math>x=A\cos ({ \omega t + \phi })</math>

对于时间t求导， <math>v=-A\omega\sin ({\omega t + \phi}) </math>

再关于时间t求导，<math>a=-A\omega^2\cos ({ \omega t + \phi })</math>

由牛顿第二定律得<math>a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {-A\cos ({ \omega t + \phi })k}{m}</math>

两式联立得<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>。

下图为简谐运动的图像，表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。是一条正弦或余弦曲线。 File:Simple harmonic motion (zh).png

这个运动是假设在没有能量损失引致阻尼的情况而发生。振幅描绘了振动的强弱，是标量，大小为最大位移的大小，质点在一次全振动过程中通过的路程等于4倍振幅。完成一次全振动的时间叫周期，单位时间内完成全振动的次数叫频率，周期和频率描绘了振动的快慢。

简谐振动的判定

应该说明：

1. 以上各判定方法是完全等价的；
2. 以上各表达式中的<math> x </math>既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。

例子

弹簧

把质量为<math>M</math>的物体悬挂在弹力常数为k的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为：

<math>\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,</math>

如果要计算它的周期，可以用以下的公式：

<math> T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}</math>。

总能量是常数，由方程<math> E = \frac{kA^2}{2} </math>给出。

等速率圆周运动

等速率圆周运动的一维投影是简谐运动。如果物体以<math>\omega</math>的角速率沿着半径为<math>R</math>的圆移动，则它在x轴、y轴或任意一条直径上的投影会是简谐运动，其振幅为<math>R</math>，角速率为<math>\omega</math>。

单摆

在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为<math>\ell</math>，重力加速度为<math>g</math>，则周期为：

<math> T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}</math>

这个公式仅当偏角很小时才成立，因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的：

<math>\ell m g \sin(\theta)=I \alpha</math>

其中I是转动惯量，在这种情况下<math>I = m\ell^2</math>。当<math>\theta</math>很小时，<math>\sin(\theta) \approx \theta</math>，因此上式变为：

<math>\ell m g \theta=I \alpha</math>

这使得角加速度与<math>\theta</math>成正比，满足了简谐运动的定义。单摆的回复力是摆球的重力沿运动方向的分力。

参阅

• 平移运动
• 匀速运动
• 平抛运动
• 曲线运动

外部链接

• 弹簧震动Java模拟 （页面存档备份，存于互联网档案馆）