摆
摆是一种实验仪器，可用来展现种种力学现象。最基本的摆由一条绳或竿，和一个锤组成。锤系在绳的下方，绳的另一端固定。当推动摆时，锤来回移动。摆可以作一个计时器。
类型[编辑]
简谐运动[编辑]
若最高处（ <math>v=0</math> ）的绳子和最低处（速度最大值）的绳子的夹角 <math>\theta</math> 相当小（<math>\theta\leq 5^{\circ}</math>）时，可使用下列公式近似算出它的振动周期。
周期公式[编辑]
- <math>T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} </math>（ <math>L</math> 为摆长； <math>g</math> 为当地重力加速度）
一摆长为 <math>1</math> 米的单摆，于地表处作小角度摆动可近似为简谐运动，周期 <math>T \approx 2.0s</math>，这种单摆称之为秒摆。
公式证明[编辑]
一单摆摆锤正在摆荡最高处(此时 <math>v=0</math> )，绳和铅直线有夹角 <math>\theta</math>，绳长为 <math>L</math>，相对于平衡点的位移为 <math>x</math>
此物体受下列力的影响（下列说明错误，绳子的张力是因为摆锤重力引起，任何一瞬间摆锤法向（径向）合力为零，但切线加速度为 <math>-g\sin \theta</math> ）
- 绳子之拉力大小 <math>F</math>
- 重力大小 <math>F_{g}= mg</math>
绳子的拉力 <math>F</math> 有分力
- <math>F\cos \theta = mg</math>
- <math>F\sin \theta = kx</math>
<math>\because \underset{\theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos \theta =1</math>
<math>\therefore F \approx m_Gg</math>
<math> F \sin{\theta} = m_Gg \left( \frac{x}{L} \right) = k x </math>
解得 <math> k = \frac{m_Gg}{L} </math>
代入 <math> T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}} </math>
得到 <math> T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_IL}{m_Gg}}</math>
根据广义相对论可知，<math> m_I = m_G\, </math>
故 <math>T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math>
单摆[编辑]
取 <math>L</math> 为绳的长度， <math>\theta</math> 为绳和垂直平面的线的交角，<math>\theta_0</math> 为 <math>\theta</math> 的最大值，<math>m</math> 为锤的质量，<math>\ddot{\theta}</math> 表示角度加速度 <math>\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}</math> 。
忽略空气阻力以及绳的弹性、重量的影响：
- 锤速率最高是在 <math>\theta = 0</math> 时。当锤升到最高点，其速率为 0。绳的张力没有对锤做功，整个过程中动能和位能的和不变，机械能守恒。
- 运动方程为：
- <math>m L \ddot{\theta} = -m {\rm{g}} \sin \theta</math>
注意到不论θ的值为何，运动周期和锤的质量无关。
当 <math>\theta</math> 相当小的时候，<math>\sin\theta \approx \theta </math>，因此可得到一条二阶齐次常系数微分方程。此为一简谐运动，周期 <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} </math>。
准确的运动周期不可以用基础函数求得。考虑微分方程：
- <math>{{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}</math>
- <math>T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)</math>
- <math>T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta</math>
将上式重写成第一类椭圆函数的形式：
- <math>T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin{\theta_0\over 2}}, {\pi \over 2} \right)</math>
其中<math>F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.</math>
周期可以用级数表示成：
- <math> T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]</math>
- <math> = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]</math>
冲击摆[编辑]
冲击摆是来用计算子弹速度的实验室仪器。它的原理为：物件碰撞前后动量守恒，摆运动时能量守恒。
冲击摆和普通摆相似，特别之处它的锤会和射入子弹产生完全非弹性碰撞，即碰撞后两者会合为一。
将子弹射向停止的锤，使锤和子弹合在一起摆动。设锤质量为<math>m_p\,</math>，子弹质量和初速度分别为<math>m_b\,</math>和v，锤和子弹碰撞后的速度为u。
以下是子弹速度的计算方法：
由动量守恒定律，
- <math>m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u</math>
由能量守恒定律，
- <math>\frac{1}{2} (m_b + m_p) u^2 = (m_b + m_p) g h</math>
解得 <math>v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}</math>。
倒单摆[编辑]
倒单摆有许多不同的架构，常见的有二种。
最简单的是无质量的直杆一端接在固定的枢纽上，另一端连结重量，此架构类似一般单摆，但因为重量在枢纽点上方，直杆在重量下方，需支持重物不落下，因此会将单摆的线改为有刚性的直杆。
另外一种是将倒单摆放在可以一维水平运动的台车上，透过台车的水平运动来控制摆的位置。
倒单摆在摆直立朝上时可以平衡，不过是不稳定平衡，需要透过控制系统才能维持平衡。
圆锥摆[编辑]
锥摆的路径是平面上圆。摆运动时，绳的路径为一个圆锥面。这是圆周运动。
复摆（物理摆/compound pendulum)[编辑]
当质量不集中或不规则的物体以转轴吊起摆动时，此摆称作复摆（物理摆）。由于有质量分布的缘故，周期跟刚性物体重心对转轴的转动惯量（I）有关。根据平行轴定理及可以求出小角度复摆周期为 <math>T= 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} </math>
双摆(complex pendulum/double pendulum)[编辑]
双摆系统是混沌的。
磁性摆[编辑]
和双摆一样，磁性摆系统是混沌的。
应用[编辑]
傅科摆[编辑]
傅科摆的移动可作为地球自转的证据。
钟摆[编辑]
摆钟。
为了减少温度变化的影响，有不同的设计：
- 栅形补偿摆（Gridiron Pendulum）：以不同金属（钢和铜）配搭，保持摆的长度不变[1]
- Graham's pendulum：有一个水银管柱，保持摆的重心不变
- 以木制摆[2]
- Ellicott compensated pendulum：用多个摆的结构配合
参考[编辑]
- Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
- The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005
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