平移
在仿射几何，平移（translation）是将物件的每点向同一方向移动相同距离。
它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若<math>\mathbf{v}</math>是一个已知的向量，<math>\mathbf{p}</math>是空间中一点，平移<math>T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}</math>。
将同一点平移两次，结果可用一次平移表示，即<math>T_{\mathbf{v}}(T_{\mathbf{u}}(\mathbf{p}))=T_{\mathbf{v}+\mathbf{u}}(\mathbf{p})</math>，因此所有平移的集是一个群，称为平移群。这个群和空间同构，又是欧几里德群E(n)的正规子群。
T对E的商群与正交群O(n)同构：E(n) / T = O(n)。
矩阵表示[编辑]
例如在三维空间，使用齐次坐标，<math>T_{\mathbf{v}}</math>可用矩阵表示为
- <math> T_{\mathbf{v}} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>。
平移的结果<math>T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})</math>就是
- <math>T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=T_{\mathbf{v}}\mathbf{p}=
\begin{bmatrix} p_x+v_x \\ p_y+v_y \\ p_z+v_z \\ 1 \end{bmatrix} </math>。
平移的逆矩阵：<math> T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}</math>。两个平移矩阵的积就是两次平移的结果：<math> T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} </math>。因为向量加法符合交换律，所以平移群不像一般矩阵乘法，平移矩阵乘法是可交换的。
参见[编辑]
外部链接[编辑]
- Translation Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
- Geometric Translation (Interactive Animation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Math Is Fun
- Understanding 2D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Understanding 3D Translation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.