动能

File:Wooden roller coaster txgi.jpg

车子在斜坡上的位置不同，其动能与势能（势能）亦不相同。

动能 （英语：Kinetic energy）是物体因为具有速率而拥有的能量，其大小等于把物体从静止加速到某个速率所需做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m²·s⁻²）。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

经典力学

在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：

<math>E_k = \frac{1}{2}mv^2</math>

其中<math>E_k</math>代表动能，<math>m</math>代表质量，<math>v</math>代表速率。

而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上。

一个物体的动能与动量的关系为：

<math>E_k = \frac{p^2}{2m}</math>

其中<math>E_k</math>代表动能，<math>p</math>代表动量的数值及<math>m</math>代表质量。

推导与定义

我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

<math>W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}</math>

其中<math>W</math>代表功，<math>\vec{F}</math>代表物体所受到的总共的作用力，<math>\vec{s}</math>代表物体的位移。

根据牛顿第二定律，

<math>\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}</math>

其中<math>\vec{F}</math>代表力，<math>\vec{p}</math>代表动量，<math>t</math>代表时间。

动量、速度与质量的关系为：

<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>

其中<math>\vec{p}</math>代表动量，<math>m</math>代表质量，<math>\vec{v}</math>代表速率。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

<math>W = \int \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \vec{v} \cdot d\vec{v} =\frac{1}{2} \int m d (\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2}mv^2 + C_0</math>

其中<math>W</math>代表功，<math>\vec{p}</math>代表动量，<math>t</math>代表时间，<math>\vec{v}</math>代表速度，<math>v</math>代表速率，<math>m</math>代表质量，<math>C_0</math>代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

<math>E_k = \frac{1}{2}mv^2</math>

其中<math>E_k</math>代表动能，<math>m</math>代表质量及<math>v</math>代表速率。

自转的物体

如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

<math>E_r = \frac{1}{2} \int v^2 dm = \frac{1}{2} \int r^2 \omega^2 dm = \frac{1}{2} \omega^2 \int r^2 dm = \frac{1}{2} I \omega^2</math>

其中<math>E_r</math>代表自转动能，<math>v</math>代表速率，<math>\omega</math>代表角速度，<math>m</math>代表质量及<math>r</math>代表质点到旋转轴间的距离。

相对论

在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用<math>m</math>表示静止质量，<math>\mathbf{v}</math>和<math>v</math>分别表示物体的速度和速率， 而<math>c</math>表示真空中的光速，我们假设线性动量<math>\mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}</math>， 其中<math>\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math>

分部积分得到

<math>E_\text{k} = \int \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p}= \int \mathbf{v} \cdot d (m \gamma \mathbf{v}) = m \gamma \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - \int m \gamma \mathbf{v} \cdot d \mathbf{v} = m \gamma v^2 - \frac{m}{2} \int \gamma d (v^2)</math>

回忆<math>\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\!</math>，我们得到：

<math>\begin{align}

E_\text{k} &= m \gamma v^2 - \frac{- m c^2}{2} \int \gamma d (1 - v^2/c^2) \\

   &= m \gamma v^2 + m c^2 (1 - v^2/c^2)^{1/2} - E_0

\end{align}</math> 其中<math>E_0</math>作为积分常数。 于是:

<math>\begin{align}

E_\text{k} &= m \gamma (v^2 + c^2 (1 - v^2/c^2)) - E_0 \\

   &= m \gamma (v^2 + c^2 - v^2) - E_0 \\
   &= m \gamma c^2 - E_0

\end{align}</math> 通过观察<math>\mathbf{v }= 0 , \ \gamma = 1\!</math> 且 <math> E_\text{k} = 0 \!</math>，得到积分常数<math>E_0</math>应为

<math>E_0 = m c^2 \,</math>

并给出通常的公式

<math>E_\text{k} = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2</math>

极限

<math>\lim_{v\rightarrow c}E_\text{k}=\infty</math>

当速度趋向光速，动能趋向无限，因此限制了速度的上限为光速，体现了相对论的自恰性。

利用泰勒公式：

<math>

\begin{align} E_\text{k} &= \frac{m c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - m c^2\\

          &= mc^2 (1 + \frac{1}{2} v^2/c^2  + \frac{3}{8} v^4/c^4 +\cdots) - m c^2\\
          &= mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \frac{3}{8}{mv^4/c^2} + \cdots - m c^2\\
          &\approx \frac{1}{2} m v^2

\end{align} </math> 低速情况下，相对论中的表达式趋向于经典力学中的表达式。

参见

• 势能（又称“位能”）
• 机械能
• 能量
• 相对论
• 牛顿运动定律