测度
在数学中，测度（measure）是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）和其他共识（普通观念、共有概念，如大小、质量和事件的概率）广义化和形式化后产生的概念（concept）。
在信息技术、办公机械中，测度是通过执行一次测量，以测量结果来赋值（赋予对象属性）的变量（数或类别）[1][2]。
传统的黎曼积分是在区间上进行的，为了把积分推广到更一般的集合上，人们就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它从 <math>n</math> 维欧式空间 <math>{\R}^n</math> 出发，概括了传统长度、面积和体积等等的概念。
研究测度的学问被统称为测度论（measure theory）[3]，因为指定的数值通常是非负实数，所以测度论通常会被视为实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。
正式定义[编辑]
定义 — <math> (X,\,\Sigma) </math> 为可测空间，函数 <math>\mu:\Sigma\to[0,\,\infty) </math> 若满足：
- <math> \mu(\varnothing) = 0 </math> (空集合的测度为零)
- 可数可加性( <math>\sigma</math>-可加性)： 若集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 对所有不相等正整数 <math>i\neq j</math> 都有 <math>E_i\cap E_j=\varnothing </math>，则
- <math> \mu\left(\bigcup_{n\in\N} E_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>。
那 <math> \mu </math> 被称为定义在 <math>\Sigma</math> 上的一个非负测度，或简称为测度。为了叙述简便起见，也可称 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 为一测度空间。
直观上，测度是“体积”的推广；因为空集合的“体积”当然为零，而且互相独立的一群（可数个）物体，总“体积”当然要是所有物体“体积”直接加总（的极限）。而要定义“体积”，必须先要决定怎样的一群子集合，是“可以测量的”，详细请见σ-代数。
如果将 <math> \mu </math> 的值域扩展到复数，也就是说 <math>\mu:\Sigma\to\C </math> ，那 <math> \mu </math> 会被进一步称为复数测度。[4]
定义的分歧[编辑]
若照着上述定义，根据可数可加性，不少母集合本身的测度值会变成无穷大（如对 <math>{\R}^n</math> 本身取勒贝格测度），所以实际上不存在。但某些书籍[5]会形式上将无穷大视为一个数，而容许测度取值为无穷大；这样定义的书籍，会把只容许有限实数值的测度称为（非负）有限测度。但这样"定义"，会造成可数可加性与数列收敛的定义产生矛盾。
所以要延续体积是一种＂度量＂的这种直观概念（也就是严谨的定义勒贝格测度），那就必须把σ-代数换成条件比较宽松的半集合环，然后以此为基础去定义一个对应到＂体积＂的前测度。
更进一步的，如果对测度空间 <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 来说，母集合 <math>X</math> 可表示为 <math>\Sigma</math> 内的某可测集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 的并集：
- <math>X = \bigcup_{n\in\N} E_n</math>
若 <math> E_n </math> 皆为有限测度集，则 <math> \mu </math> 会被进一步的称为（非负）σ-有限测度。
性质[编辑]
单调性[编辑]
测度<math>\mu\ </math>的单调性： 若<math>E_1\ </math>和<math>E_2\ </math>为可测集，而且<math> E_1 \subseteq E_2</math>，则<math> \mu(E_1) \leq \mu(E_2)</math>。
可数个可测集的并集的测度[编辑]
若<math>E_1, E_2, E_3\cdots</math>为可测集（不必是两两不交的），则集合<math>E_n\ </math>的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：
- <math> \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) </math>
如果还满足并且对于所有的<math>n\ </math>，<math>E_n\ </math>⊆<math>E_{n+1}\ </math>，则如下极限式成立：
- <math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).</math>
可数个可测集的交集的测度[编辑]
若<math>E_1,E_2,\cdots</math>为可测集，并且对于所有的<math>n\ </math>，<math>E_{n+1}\ </math>⊆<math>E_n\ </math>，则<math>E_n\ </math>的交集是可测的。进一步说，如果至少一个<math>E_n\ </math>的测度有限，则有极限：
- <math> \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) </math>
如若不假设至少一个<math>E_n\ </math>的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个<math>n\in \mathbb{N}</math>，令
- <math> E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}</math>
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
完备性[编辑]
定义 —
<math>(X,\,\Sigma,\,\mu) </math> 是测度空间，若<math>N \in \Sigma</math> 且 <math>\mu(N)=0\ </math>，则 <math>N</math> 被称为零测集（null set ）。
若所有零测集的子集都可测，则 <math>\mu </math> 称为完备的（complete）。
直观上，因为测度的单调性，只要包含于零测集的集合，也“应该”是零测集，完备测度的定义体现了这个直观的想法。更进一步的，任意测度可以按如下的定理扩展为完备测度：[6]
| 证明 |
|---|
例子[编辑]
下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。
- 计数测度 定义为<math>\mu(S) = S\ </math>的“元素个数”。
- 一维勒贝格测度是定义在<math>\mathbb{R}</math>的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足<math>\mu([0,1])=1\ </math>的唯一测度。
- Circular angle测度是旋转不变的。
- 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
- 恒零测度定义为<math>\mu(S) = 0\ </math>，对任意的<math>S\ </math>。
- 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
相关条目[编辑]
- 外测度（Outer measure）
- 几乎处处（Almost everywhere）
- 勒贝格测度（Lebesgue measure）
- 勒贝格积分
- 法图引理(Fatou's lemma)
- 富比尼定理(Fubini's theorem)
- 可测基数
参考文献[编辑]
- ↑ 测度. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
- ↑ 测度. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
- ↑ 测度论. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
- ↑ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
- ↑ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
- ↑ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333.
- R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
- D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
- Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
- M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.