σ-代数
在数学中，某个集合 X 上的 σ-代数（英语：σ-algebra）又叫 σ-域（英语：σ-field），是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个并集运算具有封闭性（因此对于可数个交集运算也是封闭的）。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。
σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。
动机[编辑]
σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。
测度[编辑]
测度是给<math>X</math>的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。
定义[编辑]
定义 —
<math>X</math> 为一集合，假设有子集族 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math>（ <math>\mathcal{P}(X)</math> 代表 <math>X</math> 的幂集）满足下列条件[1][2]
- <math>X \in \mathcal{F}</math>
- <math>(\forall A \in \mathcal{F})
\left\{ (A \in \mathcal{F}) \Rightarrow [(X - A) \in \mathcal{F}] \right\} </math>
- <math>(\forall \mathcal{A})
\left\{
[(\mathcal{A} \cong \N)
\wedge
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})]
\Rightarrow
\left(
\bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{F}
\right)
\right\} </math> 则称 <math>\mathcal{F}</math> 是 <math>X</math> 的一个 σ-代数。
注意到定义第3条的<math>\mathcal{A} \cong \N</math>，意思是 <math>\mathcal{A}</math> 和自然数系 <math>\N</math> 等势，直观的意思就是 <math>\mathcal{A}</math> 里的元素跟自然数一样多。
以上定义的直观意义为：一群 <math>X</math> 的子集合所组成的集合 <math>\mathcal{F}</math> ，为 <math>X</math> 上的一个 σ-代数意思是满足：
- <math>X</math> 本身就是 <math> \mathcal{F}</math> 的元素；
- 如果集合 <math>A</math> 在 <math> \mathcal{F}</math> 中，那么它的补集 <math> X - A </math> 也在<math> \mathcal{F}</math>中；
- 如果有可数个集合 <math>A_1 , A_2, \cdots</math> 都在 <math>\mathcal{F}</math> 中，那么它们的并集也在<math>\mathcal{F}</math> 中。
在测度论里有序对 <math>\left(X,\mathcal{F}\right)</math> 会被称为一个可测空间。而任何在 <math>\mathcal{F}</math> 中的子集 <math>A</math>，则称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， <math>\mathcal{F}</math> 被称为事件族（family of events）， <math>\mathcal{F}</math> 中的子集 <math>A</math> 则称为事件。
例子[编辑]
- <math>X</math>上最小的σ-代数是<math>\{ \varnothing, X \}</math>。
- <math>X</math>上最大的σ-代数是<math>X</math>的幂集<math>\mathcal{P}(X)</math>（也就是所有 <math>X</math> 的子集合所组成的集合）
最小σ-代数[编辑]
定理 —
设 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 是 <math>X</math> 的一个子集族，则：
- <math>\sigma(\mathcal{F})
- = \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg
| 证明 |
|---|
根据 <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 的定义（严谨来说，依据分类公理所新增的公理），对所有集合 <math> A </math> 有：
\Leftrightarrow (\forall \Sigma) \left\{ [\,(\Sigma \text{ is a algebra of } X)
\wedge
(\mathcal{F} \subseteq \Sigma)\,]
\Rightarrow
(A \in \Sigma)
\right\} </math> (a) 以下将逐条检验σ代数的定义，来验证 <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 的确是 <math>X</math> 的σ代数： (1) <math>X \in \sigma(\mathcal{F})</math> 对所有的集合族 <math>\Sigma</math> 来说，只要 <math>\Sigma</math> 是σ代数，按照定义理当有 <math>X \in \Sigma</math> ，所以由式(a)的右方的确可以得出 <math>X \in \sigma(\mathcal{F})</math> 。 (2)若 <math>A \in \Sigma</math> ，则 <math>X - A</math> 也在 <math>\sigma(\mathcal{F}) </math> 中 若 <math>A \in \Sigma</math> ，那根据式(a)，对所有的集合族 <math>\Sigma</math> 来说，只要 <math>\Sigma </math> 是σ代数 且<math>\mathcal{F} \subseteq \Sigma</math>，理当有 <math>A \in \Sigma</math>，所以对所有 <math>\Sigma</math> 只要满足这两个条件，理当有 <math>X - A \in \Sigma</math>，所以由式(a)的右方的确有：
[A \in \sigma(\mathcal{F})] \Rightarrow [X - A \in \sigma(\mathcal{F})] \} </math> (3)可数个并集也在 <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 中 若 <math>\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \sigma(\mathcal{F})</math> ，由式(a)，只要 <math>\Sigma</math> 满足(a)左方的两个条件，就有 <math>\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma</math> ，所以：
所以再从(a)右方，就可以得到：
综上所述， <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 的确是 <math>X</math> 的σ代数。<math>\Box </math> |
根据以上的定理，可以做以下的定义：
定义 —
<math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 是 <math>X</math> 的一个子集族，则：
- <math>\sigma(\mathcal{F})
- = \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg
例子[编辑]
- 设集合<math>X=\{a,b,c,d\}</math>，那么<math> \sigma(\{\{a\}\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\} </math> 是集合<math>X</math>上含有 <math> \{a\}</math> 的σ-代数中最“小”的一个。
性质[编辑]
σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。
参考来源[编辑]
- ↑ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950.，第28页
- ↑ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2.，第45-46页