赋值
在代数中，赋值（valuation）[1]是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。
在信息技术、办公机械中，赋值（assignment）是对识别出的评估要素，根据已定的量化模型给予定量数值的过程[2]，或是对组件或要求中指定的参数进行具体说明[3]。
定义[编辑]
一个域<math>K</math>上取值在有序交换群Γ的赋值是从<math>K^*</math>到Γ的映射<math>v</math>，满足下述性质：
- <math>v(xy) = v(x)+v(y)</math>（即：<math>v</math>是群同态）
- <math>x+y \neq 0 \Rightarrow v(x+y) \geq \mathrm{min}(v(x),v(y))</math>
Γ称作<math>v</math>的值群。
两个赋值<math>v_i: K^* \rightarrow \Gamma_i \; (i=1,2)</math>被称作等价的，当且仅当存在有序交换群的同构<math>\phi: \Gamma_1 \rightarrow \Gamma_2</math>使得<math>v_2 = \phi \circ v_1</math>。
为了操作上的便利，我们通常会将<math>v</math>的值域扩至<math>\Gamma \cup \{\infty\}</math>，并设<math>v(0)=\infty</math>。
p进赋值[编辑]
设p为正质数。对于所有非零的有理数，存在一且唯一一个整数<math>n</math>使得 <math>x = \frac{u}{v} p^n</math> ，其中<math>u,v</math>均非<math>p</math>的倍数。p进赋值就是函数 <math>v_p: x \to n</math>。它给出一个p进绝对值 <math>\vert\cdot\vert _p:\,\mathbb{Q} \to \mathbb{R}</math>，定义为
<math> \vert x \vert _p =
\begin{cases}
0 \\
p^{-v_p(x)} \\
\end{cases}
</math> |
若<math>x=0</math> |
| 若<math>x \ne 0</math> |
p进赋值是个非阿基米得赋值。其值群是 <math>\Z</math>。
例子[编辑]
- 令<math>X</math>为紧黎曼曲面，<math>\mathbb{C}(X)</math>为其上的亚纯函数域。固定一点<math>x \in X</math>。定义<math>v_x(f)</math>为<math>f</math>在<math>x</math>的重根数，便得到<math>\mathbb{C}(X)</math>上的赋值，其值群为<math>\mathbb{Z}</math>。对于高维情形则须考虑其因子，但此时需考虑点的拉开，状况较复杂。扎里斯基正是为了研究代数曲面而开始研究赋值论。
- 上述构造亦可套用到定义在任意域上的代数曲线。
- 利用函数域与数域的类比，可在<math>\mathbb{Q}</math>上考虑p进赋值。根据奥斯特洛夫斯基定理，<math>\mathbb{Q}</math>上的任意赋值皆等价于某个p进赋值。
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ 赋值. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
- ^ 赋值. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
- ^ 赋值. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
- Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
- Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
- Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8
扩展阅读[编辑]
- Danilov, V.I., Valuation, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English）
- Discrete valuation at PlanetMath.
- Valuation at PlanetMath.
- 埃里克·韦斯坦因. Valuation. MathWorld.