分式环
在抽象代数中，分式环或分式域是包含一个整环的最小域，典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环，此时通常称作全分式环。
分式环有时也被称为商域，但此用语易与商环混淆。
构造[编辑]
分式环是局部化的一个简单特例。以下设 <math>R</math> 为一个整环，而 <math>S := R - \{0\}</math>。
在集合 <math>R \times S</math> 上定义下述等价关系 <math>\sim</math>：
- <math>(r,s) \sim (r',s') \iff rs' - r's = 0</math>
等价类 <math>[r,s]</math> 可以想成“分式” <math>r/s</math>，上述等价关系无非是推广有理数的通分；借此类比，在商集 <math>(R \times S)/\sim</math> 上定义加法与乘法为：
- <math>[r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss'] </math>
- <math>[r,s] [r',s'] = [rr',ss']</math>
可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 <math>R \rightarrow (R \times S)/\sim</math>，定义为 <math>r \mapsto [r,1]</math>；这是一个单射。于是可定义分式环 <math>T(R) := (R \times S)/\sim</math>，再配上上述的加法与乘法运算。在实践上，我们常迳将 <math>T(R)</math> 里的元素写作分式 <math>r/s</math>。
泛性质[编辑]
整环 <math>R</math> 的分式环 <math>K(R)</math> 及其自然环同态 <math>R \rightarrow K(R)</math> 满足以下的泛性质：
- 对任何环 <math>T</math> 及环同态 <math>\phi: R \rightarrow T</math>，若 <math>R-\{0\}</math> 中的元素在 <math>\phi</math> 下的像皆可逆，则存在唯一的环同态 <math>\psi: K(R) \rightarrow T</math>，使得 <math>\phi</math> 是 <math>R \rightarrow K(R)</math> 与 <math>\psi</math> 的合成。
此性质不外是形式地表达了“K(R) 是包含 R 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明：任何一组资料 <math>(K, \phi: R \rightarrow T)</math> 若使得 <math>K-\{0\}</math> 中的元素在 <math>\phi</math> 下的像皆可逆，且满足上述泛性质，则 <math>K</math> 必与 <math>T(R)</math> 同构。
例子[编辑]
- 有理数域 <math>\mathbb{Q}</math> 是整数环 <math>\mathbb{Z}</math> 的分式环。
- 有理函数域是多项式环的分式环
- 代数数域是代数整数环的分式环。
- 在一个连通复流形上，亚纯函数域是全纯函数环的分式环。
推广[编辑]
对于一般的交换环 <math>R</math>（容许有零因子），分式环是一种退而求其次的建构：我们想找使 <math>R \rightarrow S^{-1}R</math> 为单射的“最大”局部化，详述如下：
设 <math>S</math> 为 <math>R</math> 中的非零因子所成子集，它是个积性子集，因此可对之作局部化。令 <math>T(R) := S^{-1}R</math>，此时 <math>T(R)</math> 常被称作 <math>R</math> 的全分式环。