RL电路

RL电路，全称电阻-电感电路（英语：Resistor-inductor circuit），或称RL滤波器、RL网络，是最简单的无限脉冲响应电子滤波器。它由一个电阻器、一个电感元件串联或并联组成，并由电压源驱动。

概论

最基本的被动线性元件为电阻器（R）、电容器（C）和电感元件（L）。这些元件可以被用来组成4种不同的电路：RC电路、RL电路、LC电路和RLC电路，这些名称都缘于各自所使用元件的英语缩写。它们体现了一些对于模拟电子技术来说很重要的性质。它们都可以被用作被动滤波器。本条目主要讲述RL电路串联、并联状态的情况。

在实际应用中通常使用电容器（以及RC电路）而非电感来构成滤波电路。这是因为电容更容易制造，且元件的尺寸普遍更小。

复阻抗

具有电感L（以亨利为单位）的电感元件的复阻抗Z_L（以欧姆为单位）为：

<math>Z_L \ = \ Ls </math>

复频率s是一个复数，

<math>s \ = \ \sigma + j \omega </math>

这里

• j表示虚数单位:

<math> j^2 = -1</math>

• <math>\sigma \ </math>为指数衰减常数（以每秒弧度为单位），且
• <math>\omega \ </math>为角频率（以每秒弧度为单位）

示性函数

复数函数示性函数（Eigenfunctions）对所有线性时不变系统（linear time-invariant, LTI）有以下的形式：

<math>V(t) \ = \ \mathbf{A}e^{st} \ = \ \mathbf{A}e^{(\sigma + j \omega) t} \ </math>，若令<math> \mathbf{A} \ = \ A e^{j \phi}</math>，则可重写为<math>\ = \ A e^{j \phi}e^{(\sigma + j \omega) t} </math>，合并复数指数后得到<math> \ = \ A e^{\sigma t}e^{j ( \omega t + \phi )}</math>

通过复数的欧拉公式，示性函数的实部为指数衰减的正弦值：

<math> v(t) \ = \ \mathrm{Re} \left \{ V(t) \right \} \ = \ A e^{\sigma t} \cos(\omega t + \phi )</math>

正弦稳定状态

正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况，即不存在指数衰减。因此：

<math> \sigma \ = \ 0 </math>

且s的值变为：

<math>s \ = \ j \omega </math>

串联

File:Series-RL.svg

RL电路的串联形式

如果把整个RL电路看做一个按阻抗进行分压的系统，则电感元件“分得”的电压为：

<math>V_L(s) = \frac{Ls}{R+Ls}V_{in}(s)</math>

电阻器“分得”的电压为：

<math>V_R(s) = \frac{R}{R+Ls}V_{in}(s)</math>.

电流

由于是串联电路，因此电路处处电流相等，且为：

<math>I(s) = \frac{V_{in}(s)}{R + Ls}</math>.

传递函数

电感元件的传递函数为：

<math> H_L(s) = { V_L(s) \over V_{in}(s) } = { Ls \over R + Ls } = G_L e^{j \phi_L} </math>

类似的，电阻器的传递函数为：

<math> H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) } = { R \over R + Ls } = G_R e^{j \phi_R}</math>

极点和零点

两个传输函数都有一个极点位于：

<math> s = - {R \over L } </math>

另外，电感元件在原点处有一个零点。

增益和相位

通过代入上面的表达式，可以求得两个组件的增益为：

<math>G_L = | H_L(s) | = \left|\frac{V_L(s)}{V_{in}(s)}\right| = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}</math>

且

<math>G_R = | H_R(s) | = \left|\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}\right| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}</math>,

相位为：

<math>\phi_L = \angle H_L(s) = \tan^{-1}\left(\frac{R}{\omega L}\right)</math>

且

<math>\phi_R = \angle H_R(s) = \tan^{-1}\left(-\frac{\omega L}{R}\right)</math>.

相量表示

通常用相量代替上面的式子来表达输出：

<math>V_L = G_{L}V_{in} e^{j \phi_L}</math>

<math>V_R = G_{R}V_{in}e^{j \phi_R}</math>.

脉冲响应

每一种电压的冲激响应是对应传输函数的反拉普拉斯变换。它代表电路对于包含脉冲或狄拉克δ函数的输入电压的响应。

电感元件电压的响应为：

<math> h_L(t) = \delta(t)- { R \over L} e^{-tR / L} u(t) = \delta(t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t) </math>

这里u(t)是单位阶跃函数且

<math> \tau = { L \over R} </math>为时间常数。

类似的，电阻器电压的响应为：

<math> h_R(t) = {R \over L} e^{-tR / L} u(t) = { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t) </math>

零输入响应

RL电路的零输入响应（Zero input response， ZIR）描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。因为它没有外接输入信号，因此得名。

一个RL电路的零输入响应为：

<math> i(t) = i(0)e^{-(R/L) t} = i(0)e^{-t/ \tau} \!\ </math>.

其中<math>\tau</math>是时间常数。

并联

File:RL Parallel Filter (with I Labels).svg

RL电路的并联形式

除非连接到电流源，RL电路的并联形式很少引起人们的兴趣。这主要是因为输出电压<math>V_{out}</math>等于输入电压<math>V_{in}</math>，这样，整个电路并未能充当一个电压信号的滤波器。

复阻抗为：

<math>I_R = \frac{V_{in}}{R}</math>

且

<math>\,\!I_L = \frac{V_{in}}{j\omega L} = -\frac{jV_{in}}{\omega L}</math>.

这表明电感元件在相位上落后电阻器（以及输入信号）90度。

RL电路的并联形式经常在放大器电路的输出级上，使放大器与负载隔离。由于电容器引入的相移，有些放大器在高频的情况会变得不稳定，容易产生振荡。这会影响电器功能（例如音响的音效品质）和其使用寿命（特别是对晶体管来说），所以应当尽量避免。

相关条目

• 电子滤波器
• RC电路
• LC电路
• RLC电路