瞬子

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解，无论在量子力学或量子场论，它都是有限的且为非零作用量。更精确地说，它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色：

• 在路径积分中，用于对物理系统的经典效应进行量子修正。
• 它们可用于研究许多物理系统的穿隧效应，例如杨-米尔斯理论。

4维杨-米尔斯瞬子

若

<math>S_{YM} = \int tr(F\wedge *F) </math>

是杨-米尔斯作用量（其中*是霍奇对偶），4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解：

<math>\frac{1}{2} \frac{\delta S_{YM}}{\delta A} = d_D F = dF + [A, F] = 0 </math>

其中的<math>d_D </math>是外共变导数。因为比安基恒等式

<math>d_D *F = 0 </math>

若

<math>F =\pm *F </math>

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

陈-西蒙斯

第二陈类 / 陈作用量是

<math>\int_M c_2 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M tr(F^2) =\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M dCS_3 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} CS_3 </math>

在流形M的边界，既然上面的作用量，联络形式也逼近

<math>A \to 0 \equiv gdg^{-1}</math>

这是因为

<math>A \equiv g(d + A)g^{-1}</math>

而且曲率形式

<math>F \to 0 </math>

因为陈-西蒙斯形式

<math>CS_3 = tr(AF - \frac{1}{3}A^3) </math>

所以

<math>CS_3 \to - tr(A^3) / 3 </math>

<math>\int_M c_2 = -\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} tr(A^3) / 3 = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\partial M} tr(gdg^{-1})^3 </math>

若M是R4，其边界是<math>\partial M = \partial R^4 = S^3_{\infty} </math>，一个3维球面。因为A是规范群G值的，A在边界定义一个从G到<math>S^3 </math>的函数。这样的函数是 第三同伦类 <math>\pi_3(G) = \Z </math>分类的。的确，上面的第二陈数是一个卷绕数。

<math>\int_M c_2 = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\partial M} tr(gdg^{-1})^3 = \nu \in \Z </math>

所以若

<math>S = S_{YM} + \theta \int c_2 </math>

那么威克转动的路径积分成为

<math>Z = \int dA e^{iS(A)} \to e^{i \theta \nu} \int e^{-S_{YM}} </math>

通过Bogomol'nyi bound（BPS态），我们可以用卷绕数分类BPST瞬子。

参见

• BPST瞬子
• BPS态
• 磁单极子
• 孤子

参考文献

• http://www.jstor.org/stable/79638 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Coleman, Aspects of Symmetry
• Polyakov, Gauge Fields and Strings
• Weinberg, QFT Volume 2
• Shifman. Advanced topics in QFT
• David Tong. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Michael Nielsen. Intro to Yang Mills. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）