阻抗
阻抗（英语：electrical impedance）又称电阻抗[1]，是电路中电阻、电感、电容对交流电的阻碍作用的统称。阻抗是一个复数，实部称为电阻，虚部称为电抗；其中电容在电路中对交流电所起的阻碍作用称为容抗，电感在电路中对交流电所起的阻碍作用称为感抗，容抗和感抗合称为电抗。阻抗将电阻的概念加以延伸至交流电路领域，不仅描述电压与电流的相对振幅，也描述其相对相位。当通过电路的电流是直流电时，电阻与阻抗相等，电阻可以视为相位为零的阻抗。阻抗的概念不仅存在于电路中，在力学的振动系统中也有涉及。
阻抗通常以符号 <math>Z</math> 标记。阻抗是复数，可以用相量 <math>Z_m \angle \theta </math> 或 <math>Z_m e^{j\theta}</math> 来表示；其中，<math>Z_m</math>是阻抗的大小，<math>\theta</math> 是阻抗的相位。这种表示法称为“相量表示法”。
具体而言，阻抗定义为电压与电流的频域比率[2]。阻抗的大小 <math>Z_m</math> 是电压振幅与电流振幅的绝对值比率，阻抗的相位 <math>\theta</math> 是电压与电流的相位差。采用国际单位制，阻抗的单位是欧姆（Ω），与电阻的单位相同。阻抗的倒数是导纳，即电流与电压的频域比率。导纳的单位是西门子（旧单位是姆欧）。
词源[编辑]
英文术语“impedance”是由物理学者奥利弗·亥维赛于1886年发表论文《电工》给出[3][4]。1893年，电机工程师亚瑟·肯乃利（Arthur Kennelly）最先以复数表示阻抗[5]。
1927年，孔祥鹅《商榷电机工程译名问题》一文建议采用“电阻抗”作为该术语中文译名，以便顾及与“电抗”（electrical reactance）、“电阻”（electrical resistance）二词的学理关联[6]。这一译名得以沿用至今。
复阻抗[编辑]
阻抗是复数，可以与术语“复阻抗”替换使用。阻抗通常以相量来表示，这种表示法称为“相量表示法”。相量有三种等价形式：
- 直角形式：<math>R+jX </math> 、
- 极形式：<math>Z_m \angle \theta</math> 、
- 指数形式：<math>Z_m e^{j\theta}</math> ；
其中，电阻 <math>R</math> 是阻抗的实部，电抗 <math>X</math> 是阻抗的虚部，<math>Z_m</math> 是阻抗的大小，<math> j</math> 是虚数单位，<math>\theta</math> 是阻抗的相位。
从指数形式转换到直角形式可以使用方程
- <math>R= Z_m \cos\theta</math> 、
- <math>X= Z_m \sin\theta</math> 。
从直角形式转换到指数形式可以使用方程
- <math> Z_m=\sqrt{R^2+X^2}</math> 、
- <math>\theta=\arctan(X/R)</math> 。
极形式适用于实际工程标示，而直角形式比较适用于几个阻抗相加或相减的案例，指数形式则比较适用于几个阻抗相乘或相除的案例。在作电路分析时，例如在计算两个阻抗并联的总阻抗时，可能会需要作几次形式转换。这种形式转换必需要依照复数转换定则。
欧姆定律[编辑]
借着欧姆定律，可以了解阻抗的内涵[7]：
- <math>v = i Z = i Z_m e^{j\theta}</math> 。
阻抗大小 <math>Z_m</math> 的作用恰巧就像电阻，设定电流 <math> i</math> ，就可计算出阻抗 <math>Z</math> 两端的电压降 <math> v</math> 。相位因子 <math>e^{j\theta}</math> 则是电流滞后于电压的相位差 <math>\theta</math> （在时域，电流信号会比电压信号慢 <math>\theta T/2\pi</math> 秒；其中， <math>T</math> 是单位为秒的周期）。
就像电阻将欧姆定律延伸至交流电路领域，其它直流电路分析的结果，例如电压分配（voltage division）、电流分配（current division）、戴维宁定理、诺顿定理等等，都可以延伸至交流电路领域，只需要将电阻更换为阻抗就行了。
复值电压与电流[编辑]
为了简化计算，正弦电压波 <math> v(t)</math> 和正弦电流波 <math> i(t)</math> 通常以指数形式表示为[7]
- <math> v(t) = V_m e^{j(\omega t + \phi_V)}</math> 、
- <math> i(t) = I_m e^{j(\omega t + \phi_I)}</math> ；
其中，<math>V_m>0</math> 是电压振幅，<math>I_m>0</math> 是电流振幅，<math>\omega</math> 是正弦波的角频率、<math>\phi_V</math> 是电压相位，<math>\phi_I</math> 是电流相位，
阻抗定义为电压除以电流：
- <math>Z\ \stackrel{def}{=}\ \frac{ v(t)}{ i(t)}</math> 。
将这公式代入欧姆定律，可以得到
- <math>\begin{align}
V_m e^{j(\omega t + \phi_V)} &= I_m e^{j(\omega t + \phi_I)} Z_m e^{j\theta} \\
&= I_m Z_m e^{j(\omega t + \phi_I + \theta)} \\
\end{align}</math> 。
注意到对于任意时间 <math>t</math> ，这方程都成立。因此，可以令大小与相位分别相等：
- <math>V_m= I_m Z_m</math> 、
- <math>\ \phi_V = \phi_I + \theta</math> 。
第一个方程乃是熟悉的表达电压与电流之间关系的欧姆定律，第二个方程给出相位关系。
用相量表示法来描述，相量 <math>V</math> 、<math>I</math> 分别为
- <math>V = V_m e^{j\phi_V}</math> 、
- <math>I = I_m e^{j\phi_I}</math> 。
正弦波 <math> v(t)</math> 、<math> i(t)</math> 跟相量 <math>V</math> 、<math>I</math> 的关系为
- <math> v(t) = V e^{j\omega t}</math> 、
- <math> i(t) = I e^{j\omega t}</math> 。
阻抗的定义为
- <math>Z\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}</math> 。
复数运算的正确性[编辑]
根据欧拉公式，余弦函数可以表示为
- <math>\cos(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} \Big[ e^{j(\omega t + \phi)} + e^{-j(\omega t + \phi)}\Big]</math> 。
这是一个可以用来表示电压或电流波形的实值余弦函数，可以被分解为两个复值函数。所以，只要分析方程右边的两个复值项目的行为，就可以明了方程左边的实值余弦函数的行为。由于这两个复值项目的实部相等，实际而言，只需要分析其中一个项目，取这项目的实部，就可以得到余弦函数：
- <math>\cos(\omega t + \phi) = \mathrm{Re}\Big\{ e^{j(\omega t + \phi)} \Big\}</math> 。
换句话说，只要取计算结果的实部，就可以得到答案。
在傅里叶分析中，激励可以写成多个正弦波的叠加。根据叠加原理，每个正弦波可以单独分析计算出各自的反应，（反应本身也是一个正弦波，其频率与激励的频率相同，但通常两者的振幅、相位都不相同，反应的振幅、相位会有所改变。）对于原本激励的响应是所有单独正弦波的响应在时域的总和（或积分）。这些单独正弦波都可以转换为以复数运算。[8]
相量[编辑]
相量是一个常定复数，可以代表参数为时间的正弦函数的复振幅（大小和相位）。电机工程师常会使用相量作复数运算，因为能够简化涉及正弦函数的运算，将一个微分方程问题约化为代数方程问题。
一个电路元件的阻抗可以定义为元件两端的电压相量与通过元件的电流相量，两者之间的比率，即电压与电流之间的相对振幅与相对相位。注意到因子 <math> e^{j\omega t}</math> 互相抵消，这定义等价于前面由欧姆定律给出的定义，
电路元件的阻抗[编辑]
理想电阻器的阻抗 <math>Z_R</math> 是实数，称为“电阻”：
- <math>Z_R = R</math> ；
其中，<math>R</math> 是理想电阻器的电阻。
理想电容器和理想电感器的阻抗 <math>Z_C</math> 、<math>Z_L</math> 都是虚数 ：
- <math>Z_C = \frac{1}{j\omega C}</math> ，
- <math>Z_L = j\omega L</math> ；
其中，<math>C</math> 是理想电容器的电容，<math>L</math> 是理想电感器的电感。
注意到以下两个很有用的全等式：
- <math>j =e^{j\pi/2}</math> 、
- <math>-j = e^{-j\pi/2}</math> 。
应用这些全等式，理想电容器和理想电感器的阻抗以指数形式重写为
- <math>Z_C = \frac{e^{-j\pi/2}}{\omega C}</math> 、
- <math>Z_L = \omega Le^{j\pi/2}</math> 。
给定通过某阻抗元件的电流振幅，复阻抗的大小给出这阻抗元件两端的电压振幅，而复阻抗的指数因子则给出相位关系。
电阻器、电容器和电感器是三种基本电路元件。以下段落会推导出这些元件的阻抗。这些导引假定正弦信号。通过傅里叶分析，任意信号可以视为一组正弦函数的总和。所以，这些导引可以延伸至任意信号。
电阻器[编辑]
根据欧姆定律，通过电阻器的含时电流 <math>i_{R}(t)</math> 与电阻器两端的含时电压 <math>v_{R}(t)</math> ，两者之间的关系为
- <math>v_{R}(t) = i_{R}(t)R</math> ；
其中，<math>t</math> 是时间。
设定含时电压信号为
- <math>v_{R}(t) = V_0 \cos(\omega t)= V_0 e^{j\omega t},\qquad V_0>0</math> ，
则含时电流为
- <math>i_{R}(t) =\frac{V_0}{R}e^{j\omega t}</math> 。
两者的大小分别为 <math>V_0</math> 、<math>V_0/R</math> ，相位都是 <math>\omega t</math> 。所以，阻抗为
- <math>Z_{R} =R</math> 。
电阻器的阻抗是实数。理想电阻器不会制造相位差。
电容器[编辑]
通过电容器的含时电流 <math>i_C(t)</math> 与电容器两端的含时电压 <math>v_C(t)</math> ，两者之间的关系为
- <math>i_C(t) = C \frac{\operatorname{d}v_C(t)}{\operatorname{d}t}</math> 。
设定含时电压信号为
- <math>v_C(t) = V_0 \sin(\omega t)= \operatorname{Re} \{V_0 e^{j(\omega t-\pi/2)}\}= \operatorname{Re} \{V_C e^{j\omega t}\},\quad where\quad V_0>0,\quad V_C=V_0 e^{j(-\pi/2)}</math> ，
则电流为
- <math>i_C(t) =\omega V_0 C \cos(\omega t)= \operatorname{Re} \{\omega V_0 C e^{j\omega t}\}= \operatorname{Re} \{I_C e^{j\omega t}\}</math> 。
两者的除商为
- <math>\frac{v_C(t)}{i_C(t)}=\frac{V_0\sin(\omega t)}{\omega V_0 C\cos( \omega t)}= \frac{\sin(\omega t)}{\omega C \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{2}\right)}</math> 。
所以，电容器阻抗的大小为 <math>1/\omega C</math> ，交流电压滞后90°于交流电流，或者，交流电流超前90°于交流电压。
以相量形式表示，
- <math>V_C=V_0 e^{j(-\pi/2)},\qquad V_0>0</math> 、
- <math>I_C=\omega V_0 C e^{j0}</math> 、
- <math>Z_C = \frac{e^{-j \pi/2}}{\omega C} </math> ，
或者，应用欧拉公式，
- <math>Z_C=\frac{1}{j \omega C}</math> 。
电感器[编辑]
通过电感器的含时电流 <math>i_L(t)</math> 与电感器两端的含时电压 <math>v_L(t)</math> ，两者之间的关系为
- <math>v_L(t) = L \frac{\operatorname{d}i_L(t)}{\operatorname{d}t}</math> 。
设定含时电流信号为
- <math>i_{L}(t) = I_0 \cos(\omega t)</math> 。
则电压为
- <math>v_L(t) = - \omega L I_0 \sin(\omega t)=\omega L I_0 \cos(\omega t + \pi/2)</math> 。
两者的除商为
- <math>\frac{v_{L}(t)}{i_{L}(t)} = \frac{\omega L \cos(\omega t + \pi/2)}{\cos(\omega t)}</math> 。
所以，电感器阻抗的大小为 <math>\omega L</math> ，交流电压超前90°于交流电流，或者，交流电流滞后90°于交流电压。
以相量形式表示，
- <math>i_L(t)=I_0 e^{j\omega t},\qquad I_0>0</math> 、
- <math>v_L(t)=\omega L I_0 e^{j(\omega t+\pi/2)}</math> 、
- <math>Z_L =\omega L e^{j \pi/2}</math> ，
或者，应用欧拉公式，
- <math>Z_L= j \omega L</math> 。
广义 s-平面阻抗[编辑]
以 <math>j\omega</math> 定义阻抗的方法只能应用于以稳定态交流信号为输入的电路。假若将阻抗概念加以延伸，将 <math>j\omega</math> 改换为复角频率 <math>s</math> ，就可以应用于以任意交流信号为输入的电路。表示于时域的信号，经过拉普拉斯变换后，会改为表示于频域的信号，改成以复角频率表示。采用这更广义的标记，基本电路元件的阻抗为
| 元件 | 阻抗表达式 |
|---|---|
| 电阻器 | <math>R</math> |
| 电容器 | <math>1/sC</math> |
| 电感器 | <math>sL</math> |
对于直流电路，这简化为 <math>s=0</math> ；对于稳定正弦交流信号，<math>s=j\omega</math> 。
电抗[编辑]
电抗是阻抗的虚部。电阻 <math>R</math> 与电抗 <math>X</math> 共同设定阻抗的大小和相位：
- <math>Z_m= \sqrt{Z Z^*} = \sqrt{R^2 + X^2}</math> 、
- <math>\theta = \arctan{\left(\frac{X}{R}\right)}</math> 。
具有有限电抗的电路元件，会使得其两端的电压与通过的电流发生相位差 <math>\theta</math> ：
- <math>X =Z_m\sin\theta</math> 。
运作时，纯电抗元件会交替地从电路吸收电能，然后又将电能还给电路；纯电抗元件不会耗散任何电能。
容抗[编辑]
理想电容器的阻抗是虚数，不具有实部，其虚部称为“容抗”，与信号的角频率成反比。电容器是由两块导体和夹在中间的电介质构成，其容抗为
- <math>X_C = - j/\omega C</math> 。
从这方程可以观察到，当交流电源的角频率 <math>\omega</math> 趋向于零时，电源会趋向于直流电源，容抗会趋向于负无穷大，假设给定电压源振幅，则电流会趋向于零。所以，在低频率运作时，电容器貌似断路。假设电源的频率越高，则容抗越低，对于电流通过的阻碍也越低。在高频率运作时，电容器貌似短路。
更详细地描述，假设连接直流电流源于平行板电容器的两端，由于电容器中有绝缘的电介质阻隔，电荷无法穿过电容器，电容器的一块平行板会累积正电荷,另一块平行板会累积负电荷。这过程称为“充电”。注意到在这充电过程，整个电容器仍旧维持电中性。分别累积于两块平行板的正电荷和负电荷会产生电场。依照不同的电介质属性而定，这电场会将电介质的正负电荷稍微分开，或者按照电场方向改变每一个电介质分子的定向，将电介质电极化，这会在电介质的表面形成面束缚电荷与其对应的感应电场，其方向与原本电场相反，因此减弱原本电场的实际作用，所以电介质可以增加电容器的电容。由于电容器的总电场，电容器的两块平行板之间会出现电压。等到这电压不再变动之后，通过电容器的电流会等于零，所以，一般会说电容器不允许直流电流通过。
假设连接交流电流源或交流电压源于平行板电容器的两端，由于电流会周期性的变换方向，交流电流会轮流对电容器的两块平行板充电和放电，处于两块平行板的电荷会周期性的变化，因此在一个周期内，除了电流由正变负（或由负变正）的那一瞬间之外，通过电容器的电流均不为零。因此，一般认为电容器可允许交流电流通过。注意到电容器只能够累积有限量的电荷。
感抗[编辑]
理想电感器的阻抗是虚数，不具有实部，其虚部称为“感抗”，与信号的角频率成正比：
- <math>X_L = \omega L j</math> ；
其中，<math>X_L</math> 是感抗。
从这方程可以观察到，当交流电源的角频率趋向于零时，电源会趋向于直流电源，感抗会趋向于零，对于电流的通过阻碍越低。所以，在低频率运作时，电感器貌似短路。假设电源角频率越高，则感抗越高，假设给定电压源振幅，则电流会趋向于零。所以，在高频率运作时，电感器貌似断路。
电感器是一个线圈导体。根据法拉第感应定律，通过载流循环的磁通量变率，会生成的感应电动势为
- <math>\mathcal{E} = Z_x|\angle \theta_x=|Z_2 Z_3/Z_1|\angle (\theta_2+\theta_3-\theta_1)</math> 。
這方法歷史悠久，很容易製作成品儀器，費用低廉，準確率高；但是，不能夠自動化，必須手工調整已知阻抗來達成平衡，而且電橋的測量頻域比較狹窄。
諧振法[编辑]
諧振法依賴RLC串聯電路在共振狀況的物理行為來測量元件的阻抗。這方法使用到品質因子（Q factor） <math>Q</math> 的概念。一個RLC串聯電路的品質因子是其共振頻率與頻寬的比率。這比率又可以證明為等於其電容器或電感器的電抗與電阻的比率。所以，使用測Q計（Q meter）測量一電路元件所得到的 <math>Q</math> 值，等於這電路元件的電抗除以電路的電阻[10]。
施加正弦電壓源於電路。設定測試的頻率為 <math>\omega</math> 。阻抗測試分為兩個步驟：
- 調整可調電容器的電容 <math>C</math> ，使得RLC電路進入共振狀況。用測Q計測量電容器的品質因子 <math>Q</math> 。
- 如右圖所示，將阻抗為 <math>Z_x</math> 的被測元件串聯於RLC電路，調整可調電容器的電容 <math>C'</math> ，使得電路進入共振狀況。用測Q計測量電容器的品質因子 <math>Q'</math> 。
對於第一個共振狀況，可調電容器的電抗 <math>X_{C}</math> 與電感器的電抗 <math>X_L</math> 之間的關係為
- <math>X_{C}+X_L=0</math> 。
所以，
- <math>\frac{1}{\omega C} =\omega L</math> 。
從前面關於品質因子的論述，可以寫出
- <math>Q=\frac{|X_{C}|}{R}=\frac{1}{\omega C R} =\frac{\omega L}{R}</math> 。
對於第二個共振狀況，被測元件的電抗 <math>X_X</math> 為
- <math>X_{C'}+X_X+X_L=0</math> 。
所以，被測元件的電抗為
- <math>X_X = \frac{1}{\omega C'\omega L= \frac{1}{\omega C'}-\frac{1}{\omega C} =\frac{C-C'}{\omega CC'} </math> ，
品质因子为
- <math>Q'=\frac{|X_{C'}|}{R_X+R}=\frac{1}{\omega C'(R_X+R)}</math> 。
所以，被测元件的电阻为
- <math>R_X=\frac{1}{\omega C'Q'}-\frac{1}{\omega CQ}</math> 。
被测元件的阻抗为
- <math>Z_X=R_X+jX_X=\left(\frac{1}{\omega C'Q'}-\frac{1}{\omega CQ}\right)+ j\left( \frac{1}{\omega C'}-\frac{1}{\omega C}\right)</math> 。
这方法可以用于测量高品质因子的元件。但是，必需手工调整来达成共振。
参阅[编辑]
- 阻抗匹配
- 阻抗心动描记术（impedance cardiography）
- 阻抗电桥（impedance bridging）
- 特性阻抗（characteristic impedance）
- 负阻抗变换器（impedance bridging）
- 机械阻抗（Mechanical impedance）
外部链接[编辑]
- 乔治亚州州立大学（Georgia State University）线上物理网页：阻抗 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Lewis Jr., George; George K. Lewis Sr. and William Olbricht. Cost-effective broad-band electrical impedance spectroscopy measurement circuit and signal analysis for piezo-materials and ultrasound transducers. Measurement Science and Technology. August 2008, 19 (10): 105102 [2008-09-15]. doi:10.1088/0957-0233/19/10/105102.
参考文献[编辑]
- ↑ 存档副本. [2021-09-21]. （原始内容存档于2021-09-21）.
- ↑ Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 387–389, 2006, ISBN 9780073301150
- ↑ Science, p. 18, 1888
- ↑ Oliver Heaviside, The Electrician, p. 212, 23rd July 1886 reprinted as Electrical Papers, p64, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-3465-7
- ↑ Katz, Eugenii, 對於電磁學有巨大貢獻的著名科學家：亞瑟·肯乃利, （原始内容存档于2009-10-27）
- ↑ 存档副本. [2019-12-14]. （原始内容存档于2019-05-12）.
- ↑ 7.0 7.1 Horowitz, Paul; Hill, Winfield. 1. The Art of Electronics. Cambridge University Press. 1989: 31–33. ISBN 0-521-37095-7.
- ↑ Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 829–830, 2006, ISBN 9780073301150
- ↑ Agilent Impedance Measurement Handbook (PDF) 4th, USA: Agilent Technologies: pp.22ff, 2009, （原始内容 (PDF)存档于2011-05-16）
- ↑ 10.0 10.1 Bakshi, V. U.; Bakshi, U. A., Electronic Measurements, Technical Publications: pp. 68ff, 110ff, 2007, ISBN 9788189411756
