原群
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原群（英语：Magma）是抽象代数领域中一种基本代数结构。原群定义为一个集合和这个集合上满足封闭性的一个二元运算，即：对于集合<math>M</math>和<math>M</math>上的一个二元运算<math>\bullet</math>，若满足<math>M</math>中的任意两个元素经过<math>\bullet</math>作用，得到的结果仍在<math>M</math>中，则称它们构成一个原群，记作<math>(M,\bullet)</math>。
类型[编辑]
| 类似群的结构 | ||||
| 完全性 | 结合律 | 单位元 | 除法 | |
|---|---|---|---|---|
| 群 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 幺半群 | 是 | 是 | 是 | 否 |
| 半群 | 是 | 是 | 否 | 否 |
| 环群 | 是 | 否 | 是 | 是 |
| 拟群 | 是 | 否 | 否 | 是 |
| 原群 | 是 | 否 | 否 | 否 |
| 广群 | 否 | 是 | 是 | 是 |
| 范畴 | 否 | 是 | 是 | 否 |
通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括：
原群的态射[编辑]
原群的态射是一个函数 <math>f:M\to N</math> ，将原群 M 映射至原群 N 上，并保留其二元运算：
- <math>f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)</math>
其中的 <math>*_M</math> 和 <math>*_N</math> 分别代表着在 M 和 N 上的二元运算。
自由原群[编辑]
在一集合 X 上的自由原群 <math>M_X</math> 是指由集合 X 产生出的“最一般可能的”自由原群（并没有任何的关系或公理在产生子上；详见自由对象）。自由原群可以用计算机科学中熟悉的词汇来描述，如同其树叶被 X 内的元素标示的二叉树的原群，其运算是将树在树根上连结。因此，自由原群在句法学中有着很基本的重要性。
自由原群有个泛性质，其内容为：若 <math>f:X\to N</math> 是一个从集合 X 映射至任一原群 N 的函数，则会存在唯一一个 <math>f</math> 至原群态射 <math>f^\prime</math> 的扩张。其中，
- <math>f^\prime:M_X \to N</math>